9.3. Формализация с помощью регулярных структур

3.1. Любое восприятие мира, если оно сколько-нибудь связно, должно базироваться на том или ином понятии регулярности. В противном случае у нас не будет никаких закономерностей, ничего достаточно постоянного, что поддавалось бы обучению, никакой структуры, к раскрытию которой мы могли бы стремиться.

Однако регулярность не обязательно должна быть жестко детерминирована. Напротив, многие явления, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, управляются лишь статистическими вероятностными законами. Таким образом, нужно ввести регулярность в статистическом смысле. Как следствие математически пространство состояний становится более замысловатым.

3.2. Для того чтобы формализовать восприятие мира, нужно будет уточнить понятие регулярности. В дальнейшем будет показано, что комбинаторная регулярность (теория образов) логически конформна концепциям разд. 2.2.

3.3. Напомним читателю, что теория образов имеет алгебраическую природу и основана на понятии алгебры изображений

Алгебра изображений строится из множества образующих, из последних формируются конфигурации по правилу регулярности . Группа преобразований из на преобразований подобия устанавливает, какие образующие подобны друг другу. Множество регулярных конфигураций построенных согласно , подразделяется на классы эквивалентности изображения, с помощью отношения эквивалентности правила идентификации. Изображения формируют частичную универсальную алгебру по отношению к определенным операциям соединения.

Перед тем, как начать эти исследования, обсудим выбор каждой компоненты в (9.3.1).

3.4.1. Образующие мы будем представлять себе в виде отношений в самом общем смысле слова, внося уточнения постепенно по ходу рассуждений.

В разд. 9.6 мы выясним, как связана алгебра изображений с языком. В формальной лингвистике обычно господствует конечный подход, поэтому естественно будет предполагать, что конечное множество.

С другой стороны, желательно, чтобы образующие имели такие признаки (атрибуты), как локализация, ориентация, частота, время и др. Последние по своей природе обычно непрерывны, и поэтому нам следует рассматривать как бесконечное множество.

Пока выберем первую альтернативу, сохраняя возможность расширения результатов на бесконечные пространства образующих.

3.4.2. У образующих будут связи двух типов — входные связи и выходные связи. Это приводит нас к направленной регулярности. Выходная арность будет конечной, и, поскольку конечно, она будет ограниченной на

Не так ясно обстоит дело с входными арностями После рассмотрения большого количества случаев мы пришли к выводу, что у образующих должно быть много входных связей. Означает ли это, что их должно быть неограниченно много, остается не совсем понятным. Пока будем считать, что их неограниченно много:

Заметим, что все образующие имеют входные связи, но не обязательно должны иметь выходные.

Арности связей, так же как и значения «in» и «out», ассоциированные с каждой связью, принадлежат структуре связей. Иногда различные выходные связи имеют различные функции, и это нужно будет указывать при помощи других параметров структуры связей (см. гл. 3). Это будет делаться при помощи пометок «1», «2» и т.д. Мы исключаем возможность совпадения этих пометок — маркеров — во всяком случае, начнем с этого предположения. Для входных связей мы пока не будем пользоваться подобными маркерами; в дальнейшем ситуация может измениться по мере того, как мы будем узнавать больше о характере использования этих регулярных структур.

3.4.3. Каждой связи образующей ставится в соответствие показатель связи принимающий свои значения в некотором множестве В. Интуитивно представляется удобным в качестве этих значений принять подмножества

однако пока мы этого делать не будем.

Для заданной образующей показатели связи, ассоциированные с различными выходными связями образующей, могут быть различными, что говорит о различных функциях этих связей. С другой стороны, показатели входных связей будем считать одинаковыми. Это различие можно объяснить тем, что выходные связи будут отражать активные свойства образующих (отношений), а они могут меняться от связи к связи. Входные связи, наоборот, отражают пассивные свойства, остающиеся одинаковыми для всех входных связей образующей.

Существуют, конечно, примеры, в которых такое предположение может привести к логическим противоречиям. Одна образующая может иметь две входные связи, принадлежащие двум образующим, что с точки зрения унарных отношений выражает свойства, несовместимые друг с другом. Однако, вспомнив обсуждения в разд. 9.2, мы на это пойдем: восприятие мира наблюдателем не обязательно должно соответствовать «истинному» состоянию мира.

3.4.4. Чтобы можно было указывать на каждую конкретную связь данной образующей, нам понадобятся координаты связей. Поэтому мы будем нумеровать выходные связи индексами при этом будем придерживаться соглашения о том, что такая нумерация будет согласована с маркерами параметров структуры связей, если таковые уже имеются. На диаграммах конфигураций координаты связей будут иногда заключаться в скобки для ясности.

Поскольку все входные связи имеют один и тот же показатель связи (пока мы придерживаемся этого предположения), нам не требуется различать их и поэтому для них координаты связей использоваться не будут.

3.4.5. Рассмотрим образующую так что ее координаты (выходных) связей равны соответственно Пусть, далее,

будет перестановкой первых со натуральных чисел. Каждому , соответствуют параметры структуры связей и показатели связи Если

для всех перенумерация не влияет на свойства соединений Множество всех таких перестановок образует подгруппу симметрической группы на со объектах: группу симметрии

В частном случае, когда все выходные связи имеют различные маркеры, группа симметрии состоит из единицы.

На рис. 9.3.1 группа симметрии состоит из единицы, если но порядка 2, благодаря чему (2) и (3) можно поменять, не меняя свойств соединений Отметим присутствие маркера структуры связей «1» у нижней выходной связи.

3.4.6. Показатели связей будут принимать значения в множествах Любая образующая будет иметь одно значение из некоторого для входных связей, а для ее выходных связей, если таковые имеются, эти значения будут из

чение выражает уровень абстракции образующей в смысле, который мы уясним по мере продвижения вперед.

Рис. 9.3.1

Одно разбиение на множества где Здесь — это метка, обозначающая арность, ее не следует понимать как переменный верхний индекс. Другое разбиение, индуцируемое уровнем абстракции, — на множества

здесь это метка, обозначающая уровень (от слова Об образующих этих классов мы будем говорить, что они

Каждой образующей поставлено в соответствие число, уровень абстракции обозначающее номер множества к которому принадлежат входные связи.

(см. скан)

связей и их показатели, неизменными

Отсюда сразу становится ясно, что перестановки удовлетворяющие (9.3.10), образуют группу, группу подобия.

Поскольку любая оставляет структуру связей инвариантной, наше определение корректно (см. том I, с. 14), за исключением того, что пункт (2) (см. там же) еще нельзя проверить, поскольку индекс класса образующих еще не был определен.

3.5.2. Поскольку в настоящем виде оставляет инвариантными не только структуру связей, как это делают все преобразования подобия, но также и показатели связи, то классификация любой образующей в терминах семейств тоже -инвариантна. Как следствие уровень абстракции -инвариантен.

3.5.3. Теперь мы определим класс индекс образующей как множество всех образующих с одинаковой структурой связей

Лемма 9.2. Такое разбиение является наиболее мелким при любом индексе класса образующих.

Доказательство. Если обе принадлежат одному и тому же -классу, то мы имеем Обращаясь к (9.3.10), видим, что откуда следует, что -классы инвариантны, и поэтому а — дозволенный индекс, соответствующий группе подобия, см. том I, определение 1.1.1 (2).

С другой стороны, если а — некоторый другой индекс образующей и то по определению Перестановка которая переставляет только представляет собой преобразование подобия; см. (9.3.10). Однако все индексы класса образующих должны быть -инвариантными, так что принадлежат одному и тому же -классу. Таким образом, -классы содержатся в -классах, что и требовалось доказать.

Заметим, что образующие с одним и тем же индексом оказываются одного уровня абстракции, поскольку если две образующие имеют один и тот же индекс а, то они имеют одинаковые показатели входных связей. Тогда эти показатели принадлежат одному и тому же семейству что приводит к одному и тому же уровню абстракции.

3.5.4. По поводу нашего выбора классов образующих можно сделать одно критическое замечание: они слишком узки — для того, чтобы выполнялось, необходимо потребовать

совпадения у как структуры связей, так и показателей связей. Когда мы проиллюстрируем наши построения на примере конкретных алгебр изображений, это приведет к тому, что образующие будут классифицироваться по слишком малым классам, возможно, даже неестественно малым. Поэтому в дальнейшем потребуется вносить по ходу дела некоторые изменения.

3.6.1. Теперь мы подошли к правилам 5? комбинаторной регулярности

с некоторым отношением связи локальной регулярностью, и типом соединения 2, глобальной регулярностью. В соответствии с обсуждениями разд. 9.2 нам нужно, чтобы конфигурации состояли из отношений, объединенных в «формулы». А для того чтобы формула была «вычислимой», нужно выбрать так, чтобы все соединения, разрешенные имели смысл.

3.6.2. Сначала казалось разумным в качестве отношения связей выбрать «включение». Если образующие представлять себе как логические операторы с областью определения и областью значений, то мы придем к операторным конфигурациям (см. том I, случай 2.7.1). Здесь «включение» — это естественный выбор.

Однако, изучив ряд частных случаев, мы пришли к выводу, что для настоящих целей подходит более ограничительное отношение этому выбору мы будем следовать на протяжении всей главы.

3.6.3. Очевидно, что «равенство» — это корректное отношение связей для выбранной группы преобразований подобия. В самом деле, если образующие соединяются посредством связей с показателями и то и должны быть равны. Применение одного и того же преобразования подобия не изменит показателей связей. Следовательно, могут соединяться посредством тех же самых связей, а это говорит о том что отношение «равенство» — корректно (см. том 1, гл. 2, с. 29).

3.6.4. Такой выбор оказывает влияние на уровни абстракции соединенных образующих.

Лемма 9.3. Если образующая соединена посредством своей выходной связи с входной связью образующей то

Доказательство. На рис. 9.3.2 k-я выходная связь соединяется с входной связью Соответствующие показатели связи обозначены через Если обладает уровнем абстракции Но чтобы соединение было регулярным,

отношение требует выполнения равенства так что

также принадлежит . Тогда показатель входной связи должен принадлежать что и требовалось доказать.

Лемма 9.4. Образующие в любой конфигурации с имеют структуру частично упорядоченного множества.

Доказательство. Рассмотрим соединенную компоненту с с образующими Все соединения исходят от некоторого уровня I к некоторому уровню Определив, что если существует связанная цепочка

мы видим, что

так что циклы возникать не могут. Нетрудно убедиться, что отношение удовлетворяет определению частичного порядка, что и требовалось доказать.

Рис. 9.3.2

Образующие, принадлежащие двум связанным компонентам, которые не соединены друг с другом, не имеют относительного упорядочения. Образующие, принадлежащие связанной компоненте, не упорядочены относительно друг друга, если они одного и того же уровня абстракции. Даже если они различных уровней, может случиться так, что они не поддаются сравнению в смысле отношения

3.7.1. Регулярность, с которой мы имеем дело, симметрическая: выходные связи могут соединяться только с входными. В данном случае будут возникать лишь конечные конфигурации. Основным ограничением на 2 будет условие (в дополнение к условию структуры частично упорядоченных множеств, как было показано в лемме 9.4):

2: все выходные связи должны быть соединены. (9.3.16)

Причина, по которой мы должны принять (9.3.16), заключается в том, что мы рассматриваем выходные связи как активные; логический

оператор, представляемый образующей, не имеет смысла, если не заданы его аргументы.

Таким образом, мы определили пространство конфигураций, с которым мы будем работать:

3.7.2. Можно заметить, что данный тип соединения не является монотонным-, если освободить некоторые связи или устранить некоторые образующие (и их связи) из регулярной конфигурации, то результирующая конфигурация не всегда будет регулярной. Причина заключается в том, что мы можем освободить выходную связь, принадлежащую подконфигурации, а это нарушает условие (9.3.16).

Тем не менее ниже мы встретимся с ситуацией, когда подконфигурации не будут регулярными. Чтобы получить такое пространство конфигураций, применим функтор к нашему пространству конфигураций:

(см. разд. 3.5). В все замкнутые связи удовлетворяют но выходные связи могут оставаться овободными.

3.7.3. Подобно тому как мы ввели координаты для образующей, чтобы можно было однозначно указывать на ее связи, было бы удобно иметь какую-либо нумерацию образующих в конфигурации. Поэтому конфигурацию мы будем описывать (как это уже было раньше) в виде индексированного множества образующих, каждая из которых имеет выходные связи с абсолютными координатами при Выходные связи будут иметь координаты Говоря о связи следует также указывать, является ли эта связь входной или выходной.

Такие координаты конфигураций уже обсуждались в общем виде в разд. 3.2.

Строго говоря, конфигурация не может считаться полностью описанной, если она не выражена через координаты (см. Примечания А). Поэтому две конфигурации: со своими образующими и с образующими а также со связями, обозначенными, как было указано выше, считаются идентичными с функциональной точки зрения тогда и только тогда, когда

(3) если связи соединены в с, то соответствующие связи соединены и в , и наоборот.

Отметим, что из (2) следует с соответствующими связями, заданными системой координат.

Подробнее мы поговорим об этом ниже в подразделе 3.8, где будет введено правило идентификации.

3.7.4. Множество не может быть больше, чем счетное, поскольку можно пронумеровать сначала при помощи конечного числа конфигураций в т. е. одноатомных, затем при помощи конечного числа конфигураций в т. е. двухатомных, и т. д.

Если исключить тривиальный случай, когда что всегда можно сделать, то никогда не будет иметь места Действительно, если то

регулярна при любом обозначает «пустое» соединение, т.е. не соединяющее никаких связей. То, что следует из факта, что все выходные связи в с соединены (их просто нет) и выполняется тривиально, поскольку замкнутых связей нет. Отсюда вытекает, что счетное бесконечное множество.

3.7.5. Образующие в объекты (см. (9.3.8)) играют главную роль в регулярных конфигурациях.

Лемма 9.5. Любая регулярная непустая конфигурация содержит объекты.

Доказательство. Рассмотрим произвольную образующую и пусть будет обозначать ее уровень абстракции. Если то это объект и утверждение справедливо.

Если эта образующая имеет выходные связи требует, чтобы они были соединены с некоторой образующей уровня Но либо и, следовательно, это объект, либо мы можем повторить то же самое рассуждение; в конце концов мы придем к некоторому объекту в конфигурации, что и требовалось доказать.

Замечание 1. При монотонном расширении разрешена любая одноатомная конфигурация; уровень ее образующей может тогда быть положительным, так что в могут встречаться конфигурации, целиком состоящие из образующих более высокого Уровня, чем объекты.

Замечание 2. Следует предостеречь: «объект» не обязательно представляет объект реального физического мира. Как обычно, при соотнесении математических понятий и понятий, употребляемых в обычной речи, нужно соблюдать осторожность.

Прямое следствие леммы 9.5 состоит в том, что только одноатомная конфигурация в представляет собой объект.

3.7.6. Нетрудно охарактеризовать простые конфигурации в

Лемма 9.6. Конфигурация является простой тогда

и только тогда, когда она соединенная.

Доказательство. Если с не соединенная, то ее можно рассматривать как -соединение двух непустых регулярных конфигураций . Это следует непосредственно из того факта, что соединенные компоненты любой конфигурации с регулярны: они удовлетворяют 2, поскольку все выходные связи соединены и выполняется тривиально. Однако если а принадлежат и непусты, то с не простая, а составная конфигурация.

С другой стороны, если с—соединенная конфигурация, то ее нельзя выразить как когда обе непустые и регулярные. В самом деле, ни ни не могут иметь свободных выходных связей (это противоречило бы типу соединения 2). Но тогда , что означает, что не соединены друг с другом, а это противоречит предположению, что и требовалось доказать.

Для понятий приводимая/неприводимая дело обстоит по-другому (см. Примечания Б). Конфигурация называется приводимой, если она содержит некоторую регулярную собственную подконфигурацию; в противном случае она неприводимая.

Лемма 9.7. Регулярная конфигурация с неприводима тогда и только тогда, когда она одноатомная и состоит из единственного объекта.

Доказательство. Справедливость первой части утверждения — «тогда» — очевидна. С другой стороны, если это не изолированный объект, то мы можем выбрать один из объектов конфигурации, поскольку лемма 9.5 гарантирует их существование (существует по крайней мере один объект). Возьмем подконфигурацию, содержащую этот объект. Она будет регулярной, а это означает, что с приводимая, что и требовалось доказать.

Лемма 9.7 утверждает, что в настоящем имеются лишь тривиальные несводимые конфигурации. Эта ситуация не типична для теории образов.

3.7.7. Какие регулярные конфигурации следует считать «простейшими»? Выбрав некоторую образующую потребуем, чтобы конфигурация содержала но не имела регулярной подконфигурации, также содержащей Такую конфигурацию будем называть простейшей -конфигурацией.

Лемма 9.8. Конфигурация является простейшей -подконфигурацией тогда и только тогда, когда

а) - единственное решение в с уравнения

б) если все другие удовлетворяют .

Доказательство. Предположим, что с — простейшая -конфигурация при и что она содержит другую образующую при Не существует нисходящей цепочки, ведущей от так, что мы можем удалить с ее связями из с, не оставляя никаких выходных связей открытыми. Следовательно, а) справедливо.

Теперь предположим, что с содержит некоторую образующую не предшествующую в смысле б). Тогда можно, удалить вместе с ее связями, не оставив никаких выходных связей открытыми. Таким образом, б) также выполняется.

Рис. 9.3.3

С другой стороны, если с — регулярная конфигурация, для которой выполнены а) и б), ее нельзя привести, сохраняя Для того чтобы убедиться в том, что это так, допустим, что в процессе приведения с мы должны удалить Поскольку существует нисходящая цепочка от то какая-то выходная связь останется открытой при удалении если только не будет удалена вся цепочка. Но тогда не является приведенной конфигурацией, так что условие и необходимо и достаточно, что и требовалось доказать.

Согласно лемме 9.8, простейшая -конфигурация должна иметь вид, как на рис. 9.3.3, где и с содержит два объекта

Как много может быть простейших -конфигураций? При мы получаем грубую верхнюю границу

Если то мы получаем границу

Количество простейших -конфигураций, определенно, конечное, но оно может быть очень большим, если велик уровень абстракции. Это будет иметь серьезные последствия, когда мы займемся способностью обучения семантике.

3.7.8. Рассмотрим конфигурацию с подконфигурацией Среди выходных связей с, некоторые могут быть свободными. Замкнем эти связи, добавив соответствующие образующие с, замкнем новые выходные связи, оставшиеся открытыми, и будем продолжать этот процесс. Поскольку с — конечная, процесс закончится на некоторой регулярной подконфигурации с. В крайних случаях это будет либо либо с. Будем называть с минимальным расширением . Можно показать, что описанный процесс приводит к единственному результату.

Лемма 9.9. Для регулярной конфигурации, содержащей образующую минимальным расширением одноатомной подконфигурации является простейшая -конфигурация.

Рис. 9.3.4

Доказательство. Регулярная конфигурация не может иметь (собственной) регулярной подконфигурации, содержащей поскольку если бы с была такой подконфигурацией, то все выходные связи должны были быть замкнутыми точно так же, как выходные связи от образующих должны быть соединены с входными связями и т. д. Но описанная выше процедура приводит к что и доказывает утверждение.

В качестве примера при с, представленной на рис. 9.3.3, мы получаем изображенную на рис. 9.3.4(a), и , изображенную на рис. 9.3.4(б)

Замечание 1. Ясно, что минимальное расширение — это операция замыкания в ограниченном смысле (для фиксированной с):

где отношение включения означает отношение «конфигурация/подконфнгурацня», а не просто включения между множествами образующих. Для фиксированной с минимальное расширение отображает подмножество

Замечание 2, Эта операция также монотонна в том смысле, что для фиксированной с с влечет за собой .

3.7.9. Здесь, как и в большей части теории образов, гомоморфизмы между пространствами конфигураций играют важную роль (см. (Grenander 1977d). В данном случае это, разумеется, верно для пространств Для они менее интересны, поскольку у всех его регулярных конфигураций отсутствуют открытые выходные связи. Следовательно, они могут соединяться только при помощи пустых соединений, а это означает, что у нас есть лишь несвязные объединения.

Рассмотрим два пространства конфигураций изученного выше типа:

и пусть сюръективное отображение образующих сохраняет связи характеризуются «теми же» семействами в том смысле, что

Расширим определение на полагая равной конфигурации с тем же соединением, но где каждая в с заменяется на . В таком случае справедлива следующая лемма.

Лемма 9.10. Отображение конфигураций является гомоморфизмом в смысле работы (Grenander 1977 d).

Доказательство. Сначала вспомним, как и устанавливает соответствие между двумя группами преобразований подобия Каждая группа преобразований подобия состоит из перестановок, оставляющих связи инвариантными. Но сохраняет связи, так что две группы изоморфны, хотя не обязательно должно быть биективным. В действительности обе эти группы являются (полными) симметрическими группами классов образующих в соответственно, и они биективно связаны, поскольку сюръективно.

Для того чтобы доказать лемму 9.10, предположим, и рассмотрим Чтобы вычислить мы сначала должны будем переставить образующие в с в соответствии с преобразованием подобия и заменить каждую образующую на Однако это приводит к такому же результату, как если бы мы сначала заменили каждую образующую значением ее -отображения и переставили бы их при помощи изоморфной перестановки в эти операции коммутируют. Вспомним, что преобразования подобия переставляют классы образующих, определяемые через одинаковые связи, и что связи при нашем отображении остаются неизменными.

Наконец, если вычислим и установим между ними такое же соединение а, как и прежде. Это возможно, поскольку показатели связей сохраняются и тип соединения в данном случае не налагает ограничений, поскольку а не меняется. Но будет в точности иметь соединение Образующие поменялись в соответствии с отображением образующих Следовательно, а это и требуется для того, чтобы было гомоморфизмом.

Замечание 1. Для того чтобы результаты леммы 9.10 оставались справедливыми, не обязательно требовать, чтобы Достаточно потребовать, чтобы структура связей осталась та же, если то

Замечание 2. Конечно, показатели связей, о которых мы говорили выше, не обязательно должны быть точно такими же в общем случае, когда не является «равенством». Достаточно, чтобы существовало отображение р — между двумя множествами показателей связей для соответственно, такое, что из отношения следует отношение Здесь относятся к в то время как относятся к и

Этот простой факт пригодится нам позже.

Один частный случай, который будет представлять интерес позже, — это когда в каждом классе мы выбираем один элемент прототип, и определяем как если принадлежит Нетрудно показать, что условия леммы 9.10 удовлетворяются, и, следовательно, это отображение образующих приводит к гомоморфизму между двумя пространствами конфигураций.

3.8.1. Теперь мы уже готовы к тому, чтобы ввести алгебру изображений. Конфигурации играют роль «формул», удовлетворяя здесь правилам М комбинаторной регулярности, которые мы

обсуждали в разд. 3.6. Изображения, с другой стороны, выражают «функцию» этих формул.

В данном случае правило идентификации (см. т. I, разд. 3.1) будет выбрано так, чтобы функции были координатно-свободными — описание конфигураций через системы координат здесь не годится (см. Примечания В).

Для того чтобы формализовать эти соображения, рассмотрим две регулярные конфигурации , причем в будет образующих образующих

Координаты связей будут иметь следующие обозначения:

Правило будет отождествлять тогда и только тогда, когда существует перестановка такая, что для каждого имеет место для каждого существует перестановка такая, что 1-я связь равна по структуре и показателю связи связи, соответствующие друг другу, одинаково соединены или не соединены.

Лемма 9.11. Описанное выше является правилом идентификации для и для

Доказательство. Очевидно, что это эквивалентность. Далее, если регулярны и если они эквивалентны, то имеют те же несоединенные связи. Это внешние связи, одни и те же для . В дальнейшем мы будем предполагать, что координаты были переставлены, если это необходимо, таким образом, что внешние связи одни и те же для каждой координаты. Если опять выполняется то когда мы применим одно и то же преобразование подобия , то сможем установить соответствие между и ее связями, с одной стороны, и и ее связями, с другой стороны, при той же перестановке, как для . Следовательно, Наконец, если где все четыре конфигурации регулярны, то имеют одни и те же внешние связи, соответствие между которыми устанавливается некоторой перестановкой, и аналогично дело обстоит для Соединим в некоторую регулярную конфигурацию Соединим теперь при помощи того же соединителя а, выраженного в координатной системе, о которой мы говорили выше. Конфигурация также будет регулярной, поскольку связи, соединенные в с, соответствуют связям, соединенным в с, и наоборот. Отношение

связей, таким образом, удовлетворяется для всех замкнутых связей в . Соединение также принадлежит . Однако новая конфигурация , о которой нам теперь известно, что она регулярная, состоит из тех же образующих, что и и с теми же соединениями, соответствие между которыми, устанавливается перестановками, как было описано выше. Следовательно, имеет место а это в свою очередь свидетельствует о том, что обладает всеми свойствами правила идентификации, что и требовалось доказать.

Теперь при помощи леммы 9.11 мы приходим к следующей теореме.

Теорема 9.1. Если определяются, как выше, то является алгеброй изображений и то же самое справедливо для

В дальнейшем все свойства «мира» будут выражены при помощи алгебр изображений такого вида.

3.8.2. Любой -инвариантный класс изображений представляет собой образ. К таким образам относятся также образы, порожденные эталоном

Два образа вида (9.3.27) либо идентичны, либо не связаны как подмножества

Два различных изображения в образе описывают два различных восприятия «мира», поскольку в противном случае они были бы отождествлены правилом однако имеют одну и ту же логическую структуру Что это так, следует из того факта, что они построены из образующих (см. Примечания Г), скажем для для которые принадлежат одному и тому же классу и играют одну и ту же логическую роль, но имеют различные значения.