Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.10. Разложение матрицы спектральной плотностиТеорема 5.9.1 характеризует предельную меру на Рассмотрим матрицу спектральной плотности
Мы уже показали, что Ф — эрмитова положительно определенная матрица на
(а) (б) В таком случае можно доказать, что
обладает свойствами:
— степенной ряд — разложение Результаты, перечисленные выше, хорошо известны — см. (Whittle 1963), с. 98-103. Процесс представляет собой хорошо известную авторегрессию. В стохастических исследованиях способность найти авто регрессию, объясняющую определенную физическую модель (в нашем случае — конкретную модель взаимодействия связей), часто оказывалась весьма полезной. В оставшейся части этого раздела мы займемся поиском разложения (5.10.36), что эквивалентно поиску авторегрессии. Чтобы получить разложение Ф, воспользуемся теорией полиномиальных матриц, ориентируясь в основном на работу (Dennis, Traub 1976). По поводу авторегрессии читатель может обратиться к книге (Robinson 1967). Глядя на выражение для Ф (5.10.1), мы видим, что оно представляет собой полиномиальную форму определенного типа, а именно квазиполиномиальную матрицу. Термин «полиномиальная» применяется к матрицам, имеющим форму
в то время как у квазиполиномиальной матрицы допускаются отрицательные показатели степени Нижеследующие обозначения взяты из книги
— это еще одна квазиполиномиальная матрица
когда матрицы можно перемножить. Например, если
и для
мы имеем обобщенной эрмитовой матрицей, потому что для нее Для заданной Ф определим
так что
Лемма 5.10.1. Если квазиполиномиальная матрица Ф является обобщенной эрмитовой, то Доказательство. По определению,
Следовательно, если Теперь определим несколько терминов. Характеристическое уравнение Ф:
Левые характеристические векторы (строки):
Правые характеристические векторы (столбцы):
Определим Пусть Ф имеет
Пусть правое значение:
и левое значение:
Положим
Если Следующая ключевая теорема, принадлежащая Трифту Теорема 5.10.1. При сделанных выше предположениях о Ф существует матрица
где корни уравнения Доказательство. Обозначим характеристические числа как
Рассмотрим
Теперь сформулируем без доказательства три предложения из фундаментальной статьи Лемма 5.10.2. Лемма 5.10.3. Если
то
— это собственный вектор
невырожденная и каждый элемент Теперь приступим к главной части доказательства теоремы 5.10.1. Пусть
— характеристические числа Ф. Пусть — набор векторов в О, таких, что
или
В качестве правых характеристических векторов выберем Затем воспользуемся леммой 5.10.3, чтобы построить матрицу А, столбцы которой являются собственными векторами матрицы
Поскольку предполагалось, что собственные значения В различны, мы видим, что матрица А невырожденная. Согласно лемме 5.10.4, существует перестановка столбцов А, такая, что правый левый угол представляет собой невырожденную матрицу в Теперь мы имеем
причем Определим Мы хотим показать, что
где
что следует из Поэтому
При помощи аналогичных рассуждений получаем
что следует из
Поэтому
причем Объединим теперь (5.10.27) и (5.10.30), чтобы получить наш конечный результат. Определим
Поскольку
для некоторой подходящей
где
причем
что и требовалось доказать. В ходе доказательства теоремы 5.10.1 мы установили, что раз, чтобы получить
причем, конечно, все корни уравнения
Поскольку
Затем, перемножая одночлены,
Прежде чем ослабить требование, согласно которому характеристические числа должны быть различными, приведем один пример. Найти набор векторов
может быть выражена как
На тот факт, что Пример 1. Вычислим разложение
Пусть Это уравнение имеет корни
или
Положим
Заметим, что
Тогда Теорема 5.10.1 была доказана в предположении, что характеристические числа должны быть различными. Избавиться от этого неудобного условия довольно непросто, однако это было сделано. Мы не будем здесь рассматривать этот вопрос, поскольку детали соответствующего построения мало что добавляют к пониманию существа проблемы. Заинтересованный читатель может обратиться к работе (Thrift 1979). А мы теперь применим рассмотренную теорию разложения, чтобы получить информативное представление предельной меры на конфигурациях, индуцированной регулярностью
|
1 |
Оглавление
|