5.10. Разложение матрицы спектральной плотности

Теорема 5.9.1 характеризует предельную меру на индуцированную регулярностью. Результат выражается в виде стационарного случайного процесса, значения которого являются векторами. Чтобы лучше понять, каким образом регулярность порождает случайную структуру на разложим матрицу спектральной плотности. Это разложение приведет нас к важному представлению случайных конфигураций при помощи более простого случайного механизма, как мы видим в разд. 5.11.

Рассмотрим матрицу спектральной плотности для Положим так что

Мы уже показали, что Ф — эрмитова положительно определенная матрица на Допустим, что мы можем найти матрицы такие, что

обладает следующими свойствами:

(а) не имеет корней внутри или на единичной окружности

(б)

В таком случае можно доказать, что определяемая как

обладает свойствами:

— степенной ряд — разложение (Поскольку предполагается, что не имеет корней внутри или на единичной окружности, можно вычислить с использованием элементарных дробей.) (5.10.5)

Результаты, перечисленные выше, хорошо известны — см. (Whittle 1963), с. 98-103.

Процесс называется процессом обновлений. Согласно свойству они не коррелировапы (в нашем случае статистически независимы), а согласно свойству не коррелирует с «прошлым» . Процесс, определенный в (5.10.4),

представляет собой хорошо известную авторегрессию. В стохастических исследованиях способность найти авто регрессию, объясняющую определенную физическую модель (в нашем случае — конкретную модель взаимодействия связей), часто оказывалась весьма полезной. В оставшейся части этого раздела мы займемся поиском разложения (5.10.36), что эквивалентно поиску авторегрессии.

Чтобы получить разложение Ф, воспользуемся теорией полиномиальных матриц, ориентируясь в основном на работу (Dennis, Traub 1976). По поводу авторегрессии читатель может обратиться к книге (Robinson 1967). Глядя на выражение для Ф (5.10.1), мы видим, что оно представляет собой полиномиальную форму определенного типа, а именно квазиполиномиальную матрицу. Термин «полиномиальная» применяется к матрицам, имеющим форму

в то время как у квазиполиномиальной матрицы допускаются отрицательные показатели степени . В (5.10.6) число называется степенью

Нижеследующие обозначения взяты из книги . Пусть задана квазиполиномиальная матрица

где тогда

— это еще одна квазиполиномиальная матрица Звездочка внизу означает следующие свойства:

когда матрицы можно перемножить. Например, если

и для

мы имеем Квазиполиномиальная матрица с квадратными коэффициентами, обладающая этим свойством, называется

обобщенной эрмитовой матрицей, потому что для нее на она эрмитова в обычном смысле на единичной окружности.

Для заданной Ф определим

так что представляет собой (обычную) полиномиальную матрицу. Определим также смысл индекса для полиномиальных матриц:

Лемма 5.10.1. Если квазиполиномиальная матрица Ф является обобщенной эрмитовой, то и для каждого корня уравнения существует корень и наоборот.

Доказательство. По определению,

Следовательно, если при то что означает и, таким образом, что и требовалось доказать.

Теперь определим несколько терминов.

Характеристическое уравнение Ф:

Характеристические числа Ф:

Левые характеристические векторы (строки):

Правые характеристические векторы (столбцы):

Определим Мы знаем, что поскольку Ф положительно определенная на то это множество не содержит характеристических чисел. Сделаем временное предположение, которое впоследствии будет ослаблено.

Пусть Ф имеет различных характеристических чисел

Пусть полиномиальная матрица с коэффициентами, принадлежащими Для матрицы С из определим

правое значение:

и левое значение:

Положим все коэффициенты принадлежат Предположим, что матрица невырожденная. Согласно теореме о делителе для полиномиальных матриц (Lancaster 1966), существуют единственным образом определенные полиномиальные матрицы где либо тождественно равна нулю, либо ее степень меньше степени В (то же самое относится к ), такие, что

Если (соответственно ), то называется правым делителем (соответственно левым делителем ). Пусть где матрица В невырожденная. Тогда теорема об остатке утверждает, что остаток задается как а остаток как

Следующая ключевая теорема, принадлежащая Трифту дает разложение Ф — обобщенной эрмитовой квазиполиномиальной матрицы, которая является положительно определенной на и имеет различных характеристических чисел в и

Теорема 5.10.1. При сделанных выше предположениях о Ф существует матрица , такая, что

где корни уравнения все принадлежат представляет собой обобщенную эрмитову степени меньшей, чем у Ф.

Доказательство. Обозначим характеристические числа как

Отметим, что при сделанных предположениях относительно Ф матрица должна быть невырожденной. Мы будем писать вместо чтобы упростить обозначения. Доказательство состоит из нескольких шагов, основанных на трех леммах, взятых из статьи .

Рассмотрим Блочная сопровождающая матрица, ассоциированная с имеет вид:

Теперь сформулируем без доказательства три предложения из фундаментальной статьи .

Лемма 5.10.2.

Лемма 5.10.3. Если — корень уравнения правый характеристический вектор

то является собственным значением матрицы , а

— это собственный вектор соответствующий Лемма 5.10.4. Если матрица

невырожденная и каждый элемент то существует перестановка столбцов такая, что невырожденная,

Теперь приступим к главной части доказательства теоремы 5.10.1. Пусть

— характеристические числа Ф. Пусть

— набор векторов в О, таких, что Применяя обозначения с верхней и нижней звездочкой, мы получаем следующие соотношения:

или

В качестве правых характеристических векторов

выберем

Затем воспользуемся леммой 5.10.3, чтобы построить матрицу А, столбцы которой являются собственными векторами

матрицы соответствующими Получим

Поскольку предполагалось, что собственные значения В различны, мы видим, что матрица А невырожденная. Согласно лемме 5.10.4, существует перестановка столбцов А, такая, что правый левый угол представляет собой невырожденную матрицу в . В нашем случае это означает, что существует подмножество скажем (после перенумерации), линейно независимых векторов.

Теперь мы имеем

причем невырожденная матрица.

Определим (здесь, конечно, были перенумерованы вместе с ). Ниже вместо мы будем повсюду писать

Мы хотим показать, что

где согласно теореме об остатке. В самом деле,

что следует из

Поэтому

При помощи аналогичных рассуждений получаем

что следует из

Поэтому

причем

Объединим теперь (5.10.27) и (5.10.30), чтобы получить наш конечный результат. Определим где С — матрица, уже определенная нами выше. Тогда

Поскольку соответствуют различные корни, мы имеем

для некоторой подходящей и, таким образом,

где Следовательно,

причем

что и требовалось доказать.

В ходе доказательства теоремы 5.10.1 мы установили, что представляет собой обобщенную эрмитову степени, меньшей или равной Затем мы просто применяем теорему

раз, чтобы получить

причем, конечно, все корни уравнения лежат в и

Поскольку — положительно определенная матрица, можно записать где положительно определенный квадратный корень из Таким образом,

Затем, перемножая одночлены,

Прежде чем ослабить требование, согласно которому характеристические числа должны быть различными, приведем один пример. Найти набор векторов (правых характеристических векторов) после того, как мы нашли характеристические числа нетрудно, как показывают замечания на с. 167—169 в книге (Robinson 1967). В самом деле, для заданной с различными присоединенная матрица к

может быть выражена как

На тот факт, что можно вычислить таким образом, было указано в работе , с. 61—62.

Пример 1. Вычислим разложение

Пусть так что

Это уравнение имеет корни

или

Положим остальные характеристические числа равны соответственно Пусть, далее, . Тогда

Заметим, что Теперь можно построить разложение, полагая

Тогда . Извлечение квадратного корня из завершает процедуру разложения.

Теорема 5.10.1 была доказана в предположении, что характеристические числа должны быть различными. Избавиться от этого неудобного условия довольно непросто, однако это было сделано. Мы не будем здесь рассматривать этот вопрос, поскольку детали соответствующего построения мало что добавляют к пониманию существа проблемы. Заинтересованный читатель может обратиться к работе (Thrift 1979). А мы теперь применим рассмотренную теорию разложения, чтобы получить информативное представление предельной меры на конфигурациях, индуцированной регулярностью