Глава 5. Метрическая теория образов

5.1. Вероятности, управляемые регулярностью

Если мы располагаем набором правил для регулярной структуры, то они порождают естественные вероятностные меры на пространстве конфигураций и соответствующих алгебрах изображений. Изучение метрической теории образов мы начали в разд. 2.10 первого тома. В настоящей главе это изучение будет продолжено. Некоторые результаты будут расширены и будут обладать большей степенью общности, в то время как другие достигнут большей глубины.

В процессе наших исследований мы сосредоточим внимание на конфигурациях и не будем заниматься вопросами, связанными с изображениями (см. Примечания А). Поэтому в пределах настоящей главы читатель может считать, что правило идентификации «равенство», и рассматривать изображения как идентичные конфигурациям. За период, прошедший после появления в свет первого тома, в метрической теории образов были получены некоторые важные новые результаты. Часть из них содержится в работах (Hwang 1978, Thrift 1977, 1979). Значительная часть этой главы посвящена изложению этих результатов.

Если конфигурации порождаются в соответствии то процесс можно проанализировать при помощи последовательных выборов: структурных выборов. Среди них отметим три выбора, которые нам будут часто встречаться.

1. Выбор количества образующих

2. Выбор состава при выбранном

3. Выбор соединителя о при заданном составе.

Сначала вкратце упомянем о трех эвристических принципах. В дальнейшем они будут рассмотрены в более точной форме. Эти принципы определяют нашу модель вероятностей, управляемых регулярностью (см. Примечания Б). Этим термином мы будем также пользоваться (с некоторым нарушением терминологической стройности) и в случае смягченной регулярности (см. ниже), Построение вероятностной меры на регулярных структурах основано на первом принципе, согласно которому все выборы совершаются условно независимо. Что именно мы выберем в качестве

условия, будет зависеть от конкретной задачи. Ниже будет дано несколько примеров.

Согласно второму принципу, решения (выбор) принимаются в соответствии с вероятностными мерами, которые условно идентичны. Здесь также условия будут варьироваться от случая к случаю.

Третий принцип заключается в том, что решение о замыкании или раскрытии пары связей должно иметь вероятность, зависящую только от показателей этих двух связей.

Для того чтобы проиллюстрировать описанные выше принципы, рассмотрим конечные конфигурации из конечного пространства образующих Пусть, далее, на будет определена вероятностная мера а на будет определена неотрицательная функция принятия для пар с показателями связей .

При условии, что мы приходим к

Здесь индекс перечисляет образующих, принадлежащих фиксированному множеству состав Индексы перечисляют все связи этих образующих. — это нормировочная константа, значение которой подбирается так, чтобы полная мера была равна единице (см. Примечания Б).

Важно отдавать себе отчет в том, что мера Р может придавать положительные вероятности нерегулярным конфигурациям. В самом деле, с, для которой Р в (5.1.1) положительна, может нарушить правила локальной регулярности, если когда «истина». Она также может нарушить глобальную

регулярность, если получающийся соединитель а не принадлежит 2. Когда нам нужно подчеркнуть наличие этой возможности, мы будем говорить, что Р описывает смягченную регулярность

Приведем второй пример, в котором мы настаиваем на строгой регулярности. Здесь мера имеет следующий вид:

Разумеется, нормировочная константа должна быть подобрана так, чтобы полная мера была равна единице.

В качестве третьего примера рассмотрим

состав

для смягченной регулярности и аналог (5.1.2) для строгой регулярности.

В качестве четвертого примера мы зададим меру на и не будем ограничивать значение

Очевидно, что (5.1.4) приводит к строгой регулярности, но можно внести некоторую модификацию, так что получится смягченная регулярность, как и прежде.

В последнем примере мы примем и соединитель а фиксированными

Отметим, что здесь мы получаем нулевое значение, если выбранные не имеют структуры связей, подходящей как в локальном, так и глобальном смысле при заданном фиксированном о. Для смягченной регулярности форма, конечно, видоизменяется:

Многие другие условия возникнут далее (см. Примечания Г), однако мы не будем их здесь рассматривать.

Все приведенные выше примеры были для конечного пространства образующих следовательно, ). В противном случае меры будут определяться через производные Радона—Никодима и соответствующие плотности будут обозначаться маленькими буквами. Например, (5.1.3) примет вид

где некоторая заданная -конечная мера, во многих частных случаях мера Лебега или по крайней мере близко с ней связанная.

При изучении динамики формирования образов со временем мы будем иметь дело только с динамикой марковского типа. Рассматривается конечный случай при фиксированном размере конфигурации с временным параметром . Тогда для строгой

регулярности конфигураци в момент времени должна образовать марковскую цепь на пространстве конечных состояний. В частном случае, которому мы уделим значительное внимание, механизм раскрытия и замыкания связей типа рождение-смерть будет управляться интенсивностями X Для замыкания

раскрытой связи и для раскрытия замкнутой связи. Это можно обобщить, позволив введение (рождение) новой образующей и изъятие (смерть) образующей, которая уже была в составе

Введя вероятности, управляемые регулярностью, мы изучим ряд предельных задач. В первой предельной задаче мы имеем случай, когда смягчение регулярности управляется параметром напоминающим параметр в статистической механике, где это постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура. Мы же будем говорить о в как об «абстрактной температуре» независимо от ее возможных интерпретаций. В частности, нас будет интересовать, что происходит с вероятностными мерами, когда О приближается к нулю. Каковы замороженные образы и как они соотносятся с о юдными образами?

Вторая предельная задача заключается в том, чтобы выяснить, что происходит с Р, когда становится большим. Есть основания надеяться, что предварительные результаты, изложенные в разд. 5.15, можно будет расширить и охватить более общие случаи. Эта область интенсивно исследуется в рамках метрической теории образов, она связана с попытками установить «законы больших чисел» и «центральные предельные теоремы» для регулярных структур. Недавно были получены некоторые удивительные результаты. Они будут представлены в последующих разделах.