2.4. Принцип реализма

Алгебра изображений представляет собой некую логическую конструкцию, описывающую регулярности в том виде, как они воспринимаются идеальным наблюдателем. Для того чтобы построить реалистический формализм теории образов, необходимо также математическими средствами определить связь этих изображений с тем, что видит реальный наблюдатель.

Это решающий, но, к сожалению, и непростой шаг на пути построения математической теории регулярности. Можно было бы попытаться обойти это затруднение, допустив, что в распоряжении анализирующего образы имеется какой-то метод преобразования наблюдаемых объектов в истинные изображения, принадлежащие алгебре изображений . В качестве таких методов можно было бы использовать приближение, фильтрацию или сглаживание, применяемые для того, чтобы устранись погрешности наблюдения и ошибки, сохраняя одновременно структуру регулярности. Естественно, иногда это оказывается возможным — в литературе по распознаванию образов можно найти изобилие методов такого рода.

Причина, по которой мы решили не пользоваться этим подходом, двойственна. Во-первых, при реальном использовании этот подход может не обеспечивать эффективной утилизации имеющейся информации. Во-вторых, и именно в этом главная причина, мы стремимся создать теорию, включающую всю цепочку порождения реально наблюдаемых объектов — в том числе и ее последнее звено, в которое входит реальный наблюдатель.

Какова же в таком случае природа зависимости между изображением и тем, что наблюдается реально? Если говорить на качественном уровне, то наблюдение обычно сопровождается потерями информации, внесением ошибок и искажением структуры регулярности. Следовательно, нельзя рассчитывать на то, что наблюдаемые объекты будут обнаруживать такую же комбинаторную регулярность, как и изображения, за исключением отдельных случаев.

Сформулируем все это в явном виде. Обозначим наблюдаемый объект через (деформированное изображение) и множество деформированных изображений через Хотя обычно отличается от оно может обладать какой-то собственной (отличной от структурой регулярности. В подобных случаях эта структура «слабее», она менее жесткая, чем структура регулярности

Обратимся снова к перечню примеров (2.1.1) и отметим некоторые возможные механизмы деформаций. В примере (I) реально наблюдаются

положения отдельных точек, возможно центров планет, Луны и Солнца. Наблюдения дискретны во времени, так что мы имеем дело с конечным числом показаний в пространстве-времени. То обстоятельство, что показания не непрерывны, а дискретны, приводит к некоторой потере информации. Кроме того, эти показания могут содержать ошибки. Как обычно, одна составляющая ошибки будет описываться в детерминированном виде: систематическая погрешность. Оставшаяся часть ошибки имеет случайный характер — она отражает зашумленность данных.

Итак, мы имеем дело с некоторой смесью детерминированных и случайных деформаций. Следует отметить, что изображения образованы определенными траекториями, проложенными в пространстве-времени. Деформированное изображение принадлежит к другому в логическом смысле типу —оно образовано некоторым конечным вектором. Хотя в данном случае связь между изображением и деформированным изображением непосредственна, тем не менее между ними имеется фундаментальная разница, которую следует учитывать.

В примере (II) изображение — функция — поддается наблюдению лишь при определенных комбинациях входов — аргументов. Тогда деформированное изображение будет представлять собой некоторое сужение исходной функции. Содержит ли оно достаточно информации для того, чтобы можно было определить истинное изображение, зависит от сложности системы вычислительных модулей. Возникают также и проблемы разрешимости, ответы на которые также определяются указанной сложностью.

В примере (III) в качестве очень простого механизма деформации можно использовать просто аддитивный шум. В таком случае для проведения анализов можно немедленно воспользоваться известными статистическими методами; часто то же самое оказывается справедливым, если истинные изображения задаются как элементы топологических векторных пространств, скажем и так далее, а деформации представляются просто аддитивными изменениями. Если погрешности влияют и на значения координаты то анализ становится труднее.

Допустим, что в примере (IV) изменения носят частично парадигматический, а частично синтагматический характер. Парадигматические деформации включают взаимную замену лексических единиц, в том числе полное исключение некоторых лексических единиц и, кроме того, включение в цепочку каких-то других лексических единиц. Синтагматические деформации представляют грамматические ошибки, так что повлиять они могут на вывод — цепочку или цепочки синтаксических переменных. Результат деформаций не обязательно сказывается на изображении может возникнуть лишь некоторое нарушение структуры регулярности на множестве (см. Примечание А).

И наконец, в примере (V) мы можем получить доступ к показаниям значений координат точек. Эти показания, конечно, не покрывают бесконечную решетку. Другое, более существенное обстоятельство заключается в том, что при отсутствии маркеров для всех наблюдаемых атомов (чего нельзя исключить в реальных условиях) мы не будем располагать помеченными показаниями. Мы не будем знать, к какому «идеальному» положению относится конкретное показание. Если погрешности измерений имеют тот же порядок, что и расстояния между точками решетки, то указанное обстоятельство может вызвать в процессе анализа серьезные затруднения.

Этих примеров, очевидно, достаточно для того, чтобы продемонстрировать, что нам следует рассчитывать на возникновение деформаций нестандартных типов — это, естественно, увеличивает сложность соответствующего анализа. Очевидно также, что деформации, за небольшим числом исключений, кардинально отличаются преобразований подобия. Последние имеют не столь радикальный характер и связаны с небольшой потерей информации, или эти потери не существенны. Преобразования подобия не приводят к выходу за пределы множества Деформации вносят более серьезные изменения. В общем случае будем обозначать механизм деформации через . Этот механизм может включать случайные элементы, и в таком случае должен определять используемые вероятностные меры. Конкретная деформация обозначается через и можно использовать запись

Иногда сила механизма деформации определяется некоторым параметром, скажем и в таком случае мы полагаем, что существует аддитивная полугруппа

где обозначает тождественные отображения.

Для того чтобы включить эту часть в единую теорию, необходимо изучить, каким образом деформации связаны с преобразованиями подобия каким образом множество образующих преобразуется деформациями какова комбинаторная структура деформированной алгебры изображений если она вообще существует, и т. д.; здесь мы этих вопросов не рассматриваем (см. Приложения Б).

Изложенный формализм теории образов поможет нам рассмотреть регулярные структуры под определенным углом зрения. Он не поможет нам при выборе образующих, типов соединения, деформаций и так далее; еще даже в меньшей степени он нам будет полезен при определении способа решения возникающих аналитических задач. Все это должно делаться отдельно для конкретных случаев; решение этих задач в настоящее время начинает приобретать характер однородной математической теории. На данной стадии преждевременно говорить о совершенно законченной теории. Теория изобилует пробелами. Однако фундамент уже заложен.