Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.4. Система в равновесииПредельное распределение Р достигается как будто быстро, по крайней мере в изученных нами до сих пор случаях. Чтобы продолжить наши исследования, мы должны узнать больше о его аналитических свойствах. Это потребуется в последующих разделах. Теорема 7.4 1. Для регулярной конфигурации
где произведение берется по парам связей
(при другом значении
где сумма берется по всем с, так что и
Согласно (7.3.1),
где сумма берется по Предположим, теперь, что у
где штрих у произведений означает, что они не включают
Однако в правой части (7.4.3) мы будем иметь некоторую
где множитель Аналогичным образом можно рассуждать, когда Разделим правую часть (7.4.2) на произведение всех Удобно записать (7.4.1) в виде
где Замечание. Если ввести энергию взаимодействия
то плотность распределения
где полная энергия взаимодействия может быть выражена через полное сродство
Это в точности та форма, которую мы неоднократно постулировали для вероятностей, управляемых регулярностью. Примечательно, что мы пришли как раз к этой модели, хотя отправлялись, казалось бы, совсем от другой ситуации. Возвращаясь к (7.4.8), заметим, что пользуемся следующими частотами связей:
Тогда имеем
Эта форма окажется очень полезной в разд. 7.6. Рассмотрим теперь усредненную по времени величину
Поскольку
С точностью до аддитивной константы — это математическое ожидание полного сродства для случайной конфигурации. Роль аддитивной константы заключается лишь в сдвиге уровня сродства за счет выбора новой нулевой точки. Следует отметить, что предел (7.4.15) является также энтропией динамической системы. Теперь попытаемся связать алгебраические свойства конфигураций с их вероятностными свойствами, только что нами установленными. Введем три пространства конфигураций при той же регулярности, как и прежде —
Любая Теорема 7.4.2. Меры
Доказательство. Из выражения (7.4.1) немедленно получаем
где
и в силу (7.4.1) между вероятностями устанавливается следующее отношение:
где Это означает, что вероятность получения в
в противном случае — нет. Это ведет к серьезным осложнениям в аналитическом смысле. Когда мы будем изучать большие конфигурации при Лемма 7.4.1. Подобные конфигурации равновероятны. Доказательство. Если что
так как Как быстро после достижения Лемма 7.4.2. Нестабильность с описывается выражением
Доказательство непосредственно следует из (7.3.2). Отметим, что вероятность конфигурации может быть выражена через сумму сродства по всем ее замкнутым связям, в то время как ее нестабильность выражается как сумма иитенсивностей раскрытия и замыкания связей, которым соответствуют операции, приводящие к конфигурациям из окрестности. Лемма 7.4.3. При заданных непересекающихся множествах Доказательство. Для любой
где Замечание 1. Связи, конечно, не являются стохастически независимыми при (7.4.8). Это можно легко продемонстрировать на простых примерах. Лемма 7.4.3 дает нам более слабую (условную) независимость. Нам не известно, является ли условная независимость, описанная в лемме, также достаточным условием для выполнения (7.4.8). Замечание 2. По-видимому, было бы соблазнительно считать, что маргинальная вероятность замкнутости пары связей
Это не так. Однако мы полагаем, без доказательства, что (7.4.24) выполняется асимптотически при малых Мы подошли к очень важному понятию типичной конфигурации в Р на Другими словами, мы выберем моду
В графе, множество выходных связей которого соединено (дозволенным способом) с множеством входных связей, мы должны выбрать подграф, состоящий из подмножества указанных ребер и так, чтобы никакая вершина не появлялась более одного раза. Но это задача максимального паросочетания из теории графов, для решения которой существуют быстрые алгоритмы. Однако существует другая, более принципиальная трудность, связанная с использованием моды как представителя. Чтобы пояснить, что мы имеем в виду, рассмотрим простой пример, представленный на рис. 7.4.1. Здесь у нас 7 выходных связей, разбитых на два подмножества Предположим, что максимум в (7.4.24) достигается при выборе двух связей из
Рис. 7.4.1 Неоднозначность сама по себе не страшна — можно иметь множество представителей вместо одного-единственного — ясно, однако, что это число будет очень быстро расти с ростом объясняться большим количеством элементов в множестве, несмотря на тот факт, что вероятность индивидуальных конфигураций меньше. Это был только пример, но то же самое справедливо и в общем случае. Разобьем выходные связи на группы с одинаковыми или почти одинаковыми показателями связей. То же самое проделаем для входных связей. Тогда полный показатель сродства для конфигурации зависит только (точно или приблизительно) от количества связей, ведущих из группы в группу. Поэтому выберем в качестве представителя такую конфигурацию, у которой частоты связей из группы в группу реализуют максимум величины Отметим, что все конфигурации множества имеют одну и ту же вероятность, так что условное распределение на представительном множестве однородно. К вопросу о том, как вычислить это множество, мы вернемся в разд. 7.6. Читатель, знакомый со статистической механикой, и в частности с моделями Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака, заметит сходство с этим подходом к выбору представителя.
|
1 |
Оглавление
|