Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.4. Система в равновесииПредельное распределение Р достигается как будто быстро, по крайней мере в изученных нами до сих пор случаях. Чтобы продолжить наши исследования, мы должны узнать больше о его аналитических свойствах. Это потребуется в последующих разделах. Теорема 7.4 1. Для регулярной конфигурации
где произведение берется по парам связей
(при другом значении
где сумма берется по всем с, так что и
Согласно (7.3.1),
где сумма берется по Предположим, теперь, что у
где штрих у произведений означает, что они не включают
Однако в правой части (7.4.3) мы будем иметь некоторую
где множитель Аналогичным образом можно рассуждать, когда Разделим правую часть (7.4.2) на произведение всех Удобно записать (7.4.1) в виде
где Замечание. Если ввести энергию взаимодействия
то плотность распределения
где полная энергия взаимодействия может быть выражена через полное сродство
Это в точности та форма, которую мы неоднократно постулировали для вероятностей, управляемых регулярностью. Примечательно, что мы пришли как раз к этой модели, хотя отправлялись, казалось бы, совсем от другой ситуации. Возвращаясь к (7.4.8), заметим, что пользуемся следующими частотами связей:
Тогда имеем
Эта форма окажется очень полезной в разд. 7.6. Рассмотрим теперь усредненную по времени величину
Поскольку
С точностью до аддитивной константы — это математическое ожидание полного сродства для случайной конфигурации. Роль аддитивной константы заключается лишь в сдвиге уровня сродства за счет выбора новой нулевой точки. Следует отметить, что предел (7.4.15) является также энтропией динамической системы. Теперь попытаемся связать алгебраические свойства конфигураций с их вероятностными свойствами, только что нами установленными. Введем три пространства конфигураций при той же регулярности, как и прежде —
Любая Теорема 7.4.2. Меры
Доказательство. Из выражения (7.4.1) немедленно получаем
где
и в силу (7.4.1) между вероятностями устанавливается следующее отношение:
где Это означает, что вероятность получения в
в противном случае — нет. Это ведет к серьезным осложнениям в аналитическом смысле. Когда мы будем изучать большие конфигурации при Лемма 7.4.1. Подобные конфигурации равновероятны. Доказательство. Если что
так как Как быстро после достижения Лемма 7.4.2. Нестабильность с описывается выражением
Доказательство непосредственно следует из (7.3.2). Отметим, что вероятность конфигурации может быть выражена через сумму сродства по всем ее замкнутым связям, в то время как ее нестабильность выражается как сумма иитенсивностей раскрытия и замыкания связей, которым соответствуют операции, приводящие к конфигурациям из окрестности. Лемма 7.4.3. При заданных непересекающихся множествах Доказательство. Для любой
где Замечание 1. Связи, конечно, не являются стохастически независимыми при (7.4.8). Это можно легко продемонстрировать на простых примерах. Лемма 7.4.3 дает нам более слабую (условную) независимость. Нам не известно, является ли условная независимость, описанная в лемме, также достаточным условием для выполнения (7.4.8). Замечание 2. По-видимому, было бы соблазнительно считать, что маргинальная вероятность замкнутости пары связей
Это не так. Однако мы полагаем, без доказательства, что (7.4.24) выполняется асимптотически при малых Мы подошли к очень важному понятию типичной конфигурации в Р на Другими словами, мы выберем моду
В графе, множество выходных связей которого соединено (дозволенным способом) с множеством входных связей, мы должны выбрать подграф, состоящий из подмножества указанных ребер и так, чтобы никакая вершина не появлялась более одного раза. Но это задача максимального паросочетания из теории графов, для решения которой существуют быстрые алгоритмы. Однако существует другая, более принципиальная трудность, связанная с использованием моды как представителя. Чтобы пояснить, что мы имеем в виду, рассмотрим простой пример, представленный на рис. 7.4.1. Здесь у нас 7 выходных связей, разбитых на два подмножества Предположим, что максимум в (7.4.24) достигается при выборе двух связей из
Рис. 7.4.1 Неоднозначность сама по себе не страшна — можно иметь множество представителей вместо одного-единственного — ясно, однако, что это число будет очень быстро расти с ростом объясняться большим количеством элементов в множестве, несмотря на тот факт, что вероятность индивидуальных конфигураций меньше. Это был только пример, но то же самое справедливо и в общем случае. Разобьем выходные связи на группы с одинаковыми или почти одинаковыми показателями связей. То же самое проделаем для входных связей. Тогда полный показатель сродства для конфигурации зависит только (точно или приблизительно) от количества связей, ведущих из группы в группу. Поэтому выберем в качестве представителя такую конфигурацию, у которой частоты связей из группы в группу реализуют максимум величины Отметим, что все конфигурации множества имеют одну и ту же вероятность, так что условное распределение на представительном множестве однородно. К вопросу о том, как вычислить это множество, мы вернемся в разд. 7.6. Читатель, знакомый со статистической механикой, и в частности с моделями Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака, заметит сходство с этим подходом к выбору представителя.
|
1 |
Оглавление
|