Глава 1. Образы: от хаоса к порядку

1.1. Поиск регулярности

Поиск регулярности — это доминирующая тема в попытках человека понять окружающий его мир. Любая попытка такого рода базируется на неявном или явиом допущении о том, что явления природы и события искусственного мира, созданного человеком, подчиняются определенным законам, определяющим упорядоченность и структуру.

Можно также вспомнить Юма, отметившего в своем «Трактате о человеческом понимании» (книга I, раздел VI): «Если бы мы руководствовались разумом, то следовали бы принципу, что те события, опыт столкновения с которыми у нас отсутствует, должны иметь сходство с такими событиями, опытом столкновения с которыми мы располагаем, и что закономерности в природе всегда остаются неизменными». Этот принцип лежит в основе рассуждения методом неполной индукции, применяемого как в науке, так и в повседневной жизни.

В самом деле, трудно представить себе, каким образом можно было бы хоть что-то понять в совершенно хаотическом мире, где события следуют друг за другом в произвольной последовательности, где царит хаос и отсутствуют правила, определяющие, что может и чего не может происходить. Было бы невозможно составлять планы на будущее или просто принимать меры, обеспечивающие выживание индивидуума или видов в такой страшной и непостижимой среде.

Уже в «донаучные» времена человек, по-видимому, пытался обнаруживать такие регулярности, на которые он мог бы опираться в своей обыденной жизни или которые давали бы ему чувство безопасности во враждебном мире. Как писал, в частности, Фрэзер в главе XIX своей «Золотой ветви».

...в магии при преодолении трудностей и опасностей, которые осаждают его со всех сторон, человек полагается исключительно на свои собственные силы. Он верит в некоторый неизменный природный порядок, на который он наверняка может полагаться и которым он имеет возможность манипулировать в своих целях. Обнаружив свою ошибку, человек с грустью констатирует, что порядок природных явлений, из признания которого он исходил, а также его собственная способность осуществлять контроль над этими явлениями

были не более как плодами его воображения. Он перестает полагаться на свои умственные способности и смиренно отдает себя во власть великих невидимых существ, пребывающих за завесой природных явлений, существ, которым он отныне приписывает все те необычайные способности, что некогда дерзко присваивал себе. ...

Магия вытесняется религией, верой в богов -

Однако со временем это объяснение, в свою очередь, становится неудовлетворительным: оно исходит из того, что последовательность природных явлений не подчинена неизменным законам, а носит в какой-то мере изменчивый и непредвиденный характер. Более скрупулезнее наблюдение эту предпосылку не подтверждает. Напротив, чем глубже мы исследуем природу, тем больше нас поражает строгое единообразие и безукоризненная точность, которые отличают природные пропессы во всех их известных проявлениях.

Большинство наук проходит через первоначальную стадию сбора разрозненных данных, сочленения интересных объектов и любопытных фактов. Уже сами попытки обратиться к таксономии и классифицировать объекты или факты выражают стремление к общности, «неизменным законам» и «строгому единообразию». На несколько более поздней стадии, обычно пересекающейся с первоначальной, наблюдается стремление к формулированию общих принципов в явном виде. Задача ученого не сводится лишь к обнаружению или изобретению таких принципов, но по меньшей мере в той же степени связана с их логическим анализом и выводом из них следствий. Эти следствия и их взаимосвязь с наблюдаемым миром показывают, сколь сильно преуспел ученый в описании регу-лярностей.

На современном языке и в несколько более абстрактной постановке подобные усилия можно назвать формальными системами, под которыми мы понимаем ряд базисных утверждений или процедур и правил, указывающих, каким образом их применять для объяснения соответствующих явлений. Так, например, «утверждение А влечет утверждение В» и «утверждение С влечет утверждение Л» можно формально представить в виде:

В догалилеевой механике в роли А могло бы выступать утверждение «объект 1 тяжелее объекта 2», в роли утверждения В — «объект 1 падает быстрее объекта 2» и в роли С — утверждение «объем объектов 1 и 2 одинаков, первый из них сделан из свинца, а второй — из железа».

Если задано некоторое множество базисных утверждений типа (1.1.1), то ценность результатов, получаемых посредством применения правил, зависит от того, сколь эффективны используемые силлогизмы. При использовании обычных логических правил в качестве следствий утверждений (1.1.1) мы получаем: «если В не происходит, то А не выполняется», «если С истинно, то В должно

выполняться» и т. д.

Для того чтобы формальная система, описывающая регулярность, оправдывала свое название, она должна обладать определенным постоянством относительно времени и пространства. Если подобная система описания применима лишь к какому-то определенному времени и какому-то определенному месту, то это данные, результаты изолированных наблюдений, но отнюдь не закон природы. Таким образом, необходимо стремиться к тому, чтобы истинность утверждений обладала некоторой общностью.

Говоря о законах, порядке, образах, мы имеем в виду нечто большее, чем изолированные факты. Законы имеют дело с несколькими альтернативами, интересные законы — со значительным числом альтернатив. Мы, следовательно, должны воспользоваться концепцией ансамбля: образ следует соотносить с некоторым ансамблем возможных случаев. Порядок в подобном ансамбле рассматривается как единообразное выполнение определенных свойств. Это звучит довольно туманно, но после того, как в разд. 1.2 мы рассмотрим ряд регулярных структур, будет внесена большая точность.

Символы произвольны. С тем же успехом для обозначения утверждений можно было бы использовать и другие сокращения. Можно сказать, что мы имеем в виду определенную интерпретацию формального утверждения (1.1.1), причем интерпретация эта фиксированна, в то время как ее формализация остается в некоторой мере произвольной. Одну и ту же регулярную структуру можно представить множеством взаимно эквивалентных формальных систем. Если различные формулы означают одно и то же, то у нас нет никаких оснований отдавать предпочтение той или иной из них, за исключением случаев, когда вводятся иные критерии, основанные на таких понятиях, как простота и удобство.

С формальной точки зрения нет нужды вводить различия между утверждениями типа и силлогизмами типа

В интерпретации, которой мы пользовались выше, основой первого служило эмпирическое знание, а основой второго — аналитическая истина. Формально оба выражения можно рассматривать в качестве законов или аксиом, которые можно комбинировать с тем, чтобы получать другие — выведенные утверждения. Количество выведенных утверждений может быть большим, даже бесконечны

Для того чтобы более отчетливо продемонстрировать концептуальную структуру регулярности подобного рода, рассмотрим другой пример, взятый из ньютоновской механики материальных точек.

Здесь мы имеем дело со следующими утверждениями:

Кроме того, рассматриваются другие утверждения, представляющие исчисление и силлогизмы. Соединяя утверждения «осмысленным» образом, можно вывести новые утверждения и описать, проанализировать и предсказать явления, изучаемые в механике. Другими словами, мы в состоянии выявить регулярности подобных явлений.

В утверждениях (1.1.3) естественными инвариантностями являются инвариантности относительно галилеевых преобразований:

так же как и изменения масштаба для единиц длины, массы и времени. В отношении последних вводимые изменения должны производиться для механических постоянных в зависимости от их размерности. Как и прежде, названия (символы), применяемые для «маркировки» величин, можно изменять при условии, что делается это последовательно.

Отталкиваясь от утверждений (1.1.3), мы получаем одно за другим новые утверждения. Так, например, доказывается, что при отсутствии воздействия сил материальная точка совершает равномерное движение — это самое непосредственное следствие. Либо, после введения понятпй второго порядка, таких, как энергия и момент, доказывается справедливость законов сохранения при выполнении определенных условий.

Вывод можно рассматривать как некоторую последовательность исходных утверждений, входящих в набор (1.1.3), или необходимых вспомогательных утверждений математико-логического характера. Естественно, чтобы эта последовательность имела смысл, она не может быть совершенно произвольной, как раз наоборот — элементы

этой последовательности должны следовать друг за другом в соответствии с определенными правилами.

И снова, с формальной точки зрения эта последовательность является просто формулой, образованной из некоторых подформул в соответствии с правилами построения формул. То значение, которое мы приписываем формуле, определяется конкретной интерпретацией, подразумеваемой нами; в данном случае речь идет о динамике материальной точки. Здесь правильность формулы означает выводимость заключения из исходных предположений или, скорее, из того подмножества исходных предположений, которое необходимо для составления цепи рассуждения. Последовательность этапов рассуждения «внутри» формулы не важна, если они верны. Очевидно, что несколько формул могут иметь один и тот же смысл и возможно, хотя, быть может, и менее очевидно, что одна формула в различных контекстах имеет различные интерпретации.

Регулярная структура ньютоновской механики, совершенно очевидно, является одной из наиболее развитых регулярных структур естественных наук. Это сложная структура, не имеющая себе равных по изящности и мощи. Вероятно, полезно обратиться к значительно более простому примеру, демонстрирующему логические признаки, которые характеризуют регулярные структуры более обозримым способом, не обремененным техническими деталями.

Рассмотрим некоторую бесконечную последовательность натуральных чисел скажем последовательность 1, 3, 5, 7, ..., т. е. последовательность нечетных положительных целых чисел. Эта последовательность (обозначим ее через х) представляет собой некоторый одиночный объект, и поэтому поиск образов в данном случае может показаться противоречащим концепции ансамбля. Последовательность не обязательно описывать на языке ограничений («не делится на ее можно порождать, пользуясь рекурсией. Тогда отправной точкой служит последовательность с единственным элементом а затем многократно применяется рекурсия:

Эту процедуру можно рассмхгрнвль как последовательное применение правила (1.1.5) в сочетании с начальными условиями, состоящими в том, что . Элементы этой последовательности идентичны, за исключением, конечно, того, что каждый раз входным является новое значение, и воспроизводят они, следовательно, также различные выходные значения. Это то, что касается механизма работы последовательности, интерпретацией же (или смыслом) ее является последовательность полученных таким образом величин.

Последовательность применений правил (1.1.5) и получаемая в результате числовая последовательность тесно взаимосвязаны, но было бы серьезной ошибкой считать их идентичными. Мы еще вернемся к этой проблеме в разд. 1.2 и 2.3.

Если в (1.1.5) заменить постоянную 2 каким-то другим натуральным числом и если изменить начальные условия, то мы получим другой арифметический ряд. Аналогично, можно изменить (1.1.5) так, чтобы получать арифметические ряды высших порядков, геометрические ряды, числа Фибоначчи и так далее.

Последовательность применений правила (1.1.5) счетно бесконечна в отличие от примеров, рассмотренных выше. Не следует, однако, придавать этому различию особое значение.

Мы не настаиваем также на каком-то определенном способе формальной записи правил типа (1.1.5). На самом деле с тем же успехом можно было бы воспользоваться средствами языка программирования. На языке например, это можно было бы записать как

Тогда задание начального состояния обеспечивается оператором , а (1.1.6) многократно исполняется в цикле. Обратившись к другим языкам программирования, мы получили бы другие, обычно менее привлекательные выражения, вид которых зависит от того, какие вычислительные модули имеются в нашем распоряжении и как происходит их синтаксическая обработка в конкретном языке программирования.

В принципе не имеет значения, какой язык (или математическую нотацию) мы используем, если его возможности достаточны. Это — истина, но она вводит в заблуждение. При программировании можно записать все что угодно в двоичном коде, однако большинство пользователей вычислительных машин предпочитают языки программирования высокого уровня, и у них есть для этого веские основания. Подобным же образом, в математике выбор нотации важен в том отношении, что он позволяет сосредоточить внимание на важнейших аспектах задачи.

При изучении регулярности мы также нуждаемся в некоторой систематической процедуре-, формализме, для описания и анализа

паттернов. Он должен обладать достаточной общностью для того, чтобы его можно было применять ко всем тем многочисленным разновидностям паттернов, которые будут встречаться, но такой формализм должен обладать и гибкостью, обеспечивающей удобство пользования им, а также возможность опираться на его понятийную систему. Такой формализм не будет решать за нас задачи, но поможет точно сформулировать их, выделяя общие свойства внешне различных паттернов.

Примеры регулярных структур, приведенные выше, могут послужить нам ориентиром при построении формализма паттернов. Они различны по содержанию: два из них описывают дедуктивные процессы, а один — арифметические вычисления. В формальном отношении, однако, их объединяет то обстоятельство, что в них речь идет о построении некоторых объектов посредством комбинирования заданных объектов в соответствии с определенными правилами построения объектов. Именно это н будет одним из лейтмотивов нашего исследования.

Правила ограничивают произвольность конструкций: чем строже правила, тем «жестче» оказываются получаемые в результате их применения паттерны, тем дальше они от хаоса. В этой связи читателю следует вспомнить понятие сложности вычислений по Колмогорову и следующее из него определение случайности. Мы рекомендуем по этому поводу обратиться к работам (Solomonoff 1964) и (Martin-Lcf 1966).

Если оставить в стороне технические аспекты, которые несколько усложняют дело, то рассуждение строится примерно следующим образом. Пусть задана некоторая вычислительная процедура, сформулированная на языке универсальных машин или алгоритмов; рассмотрим длинные бинарные последовательности где или 1, а велико. Если некоторая заданная последовательность, то пусть программа, записанная также в виде бинарной последовательности, представляющей команды в программе таким образом, что вычисляет Длина программы имеет нижнюю грань, скажем которую в случае, когда не существует программы, вычисляющей мы интерпретируем как

В таком случае мера сложности в общем случае зависит от используемой машины. Колмогоров, однако, показал, что при эта зависимость перестает быть существенной и, следовательно, можно определить соответствующую меру сложности однозначно, не привязывая ее к конкретной машине. Случайная последовательность в таком случае, совершенно очевидно, характеризуется максимальной сложностью: для ее вычисления требуется длинная программа.

Другой крайний случай возникает, когда объект, который может представлять собой числовую последовательность, хотя и не должен обязательно являться ею, действительно поддается описанию с помощью некоторой точной программы (например, последовательность Фибоначчи). Итак, наше исследование как будто посвящено случаям, прямо противоположным ситуации случайности. Это, однако, не совсем так, поскольку вероятностные идеи будут играть важную роль в развитии теории образов. Лучше всего это можно продемонстрировать на примере.

Допустим, мы изучаем геометрические образы в случае, когда объектами служат множества, представляющие биологические формы, причем на эти множества наложены ограничения, определяемые заданными правилами. Быть может, они эллипсоидальные, или выпуклые, или определены с помощью геометрических конструкций более общего характера. Подобные образы могут быть достаточно «жесткими» и допускать точное описание.

Другая ситуация возникает, если мы спрашиваем, что происходит при наблюдении и измерении объектов. В этом случае все зависит от того, какими приборами вооружен наблюдатель: его представление об объекте может очень сильно отличаться от собственно объекта, причем как качественно, так и количественно. Обычно регулярность ослабляется, и условия, ограничивающие свободу формы, больше не нуждаются в строгом соблюдении.

Это означает, однако, что мы нуждаемся для описания наблюдаемого объекта в описаниях более сложных, быть может, более длинных, чем собственно объекта, и это ведет нас к использованию вероятностных описаний. Это будет осуществлено с помощью введения вероятностных мер на допустимых значениях объектов: нам придется изучать вероятности на выборочных пространствах, которые часто оказываются совершенно иными, чем выборочные пространства, обычно рассматриваемые в теории вероятностей и статистике.

Очень жесткие паттерны представляют значительный интерес сами по себе, например, в связи с порождающими способностями различных логических структур или проблемами разрешимости в распознавании образов. Тем не менее этим проблемам в нашем исследовании будет уделяться мало внимания; в основном мы будем заниматься регулярными структурами, находящимися в средней части спектра и не являющимися ни совершенно случайными, ни чрезвычайно жесткими.

Как уже упоминалось, случайность будет использоваться для описания реально наблюдаемых образов с тем, чтобы отличать их от гипотетических. Случайность, однако, потребуется также и для описания того, насколько вероятны различные гипотетические образы. Кроме того, нам придется разработать ряд математических средств для того, чтобы справиться с возникающими проблемами.

Эту деятельность можно рассматривать как продолжение попыток анализировать вероятностные меры на таких выборочных пространствах, как группы и полугруппы, топологические векторные пространства, алгебры и так далее.

Мы попытаемся представить эти вероятности с помощью основных топологических и алгебраических свойств соответствующих образов, но было бы преждевременно останавливаться на каких бы то ни было подробностях того, как это может быть сделано. Мы вернемся еще к этой важной проблеме в гл. 3—5 (см. примечания в конце книги).

Возвращаясь к представлениям наблюдателя о каком-то регулярном явлении, не следует считать искажения просто возмущениями, вызванными случайным шумом в техническом смысле этого слова. Это означало бы недооценку математических трудностей, возникающих при попытках понять связь, существующую между теоретической регулярностью и наблюдаемой регулярностью Эффекты, связанные с использованием измерительной аппаратуры, могут оказать глубокое влияние на характер наблюдаемого явления. Так, например, может изменяться размерность, когда трехмерные объекты наблюдают с помощью монокулярного прибора или когда сферические объекты (с четырьмя параметрами) преобразуют в более общие выпуклые множества (возможно, с бесконечным числом параметров). Несовершенство наблюдений вызывает искажения, которые должны быть осознаны и проанализированы. Именно в этом и состоит одна из основных трудностей, возникающих при математическом изучении регулярности.

В нескольких приведенных нами примерах регулярность являлась нам в облике систематического размещения простых объектов в соответствии с заданными правилами и интерпретировалась в соответствии с представлением о ней, полученным наблюдателем, Какой-то один закон, какая-то отдельная регулярность не были предметом нашего первоочередного интереса — мы обращались к системам или ансамблям. Итак, речь будет идти о регулярных структурах, паттернах, причем акцент будет делаться на концепции ансамбля.

Пока все хорошо. Но каким образом можно представлять и характеризовать регулярные структуры формально, т. е. на языке математики? Это нелегкая задача, и мы должны добиться более глубокого проникновения в природу регулярностей прежде, чем сможем решать, какую формальную структуру следует выбирать. Для того чтобы добиться понимания этой природы, рассмотрим ряд частных случаев, иллюстрирующих, как понятие регулярности работает в историческом развитии естественных наук, а также гуманитарных наук и техники.

Хотя перечень примеров довольно длинен, он представляет лишь ничтожную часть идей, выдвигавшихся в связи с регулярностью.

Это очевидно. Менее очевидно априори то, что все они имеют много общего, что сходные идеи использовались для определения регулярности в областях, как будто никак между собой не связанных. Это не будет сюрпризом для тех, кто верит в единство науки, и явно поможет нам в достижении поставленных целей.

Здесь необходимо сделать одну оговорку. Читатель, возможно, заметит, что примеры, включенные в разд. 1.2, в какой-то мере специфические. Это может ограничить область применения формализма, который будет построен; поэтому при его использовании необходимо иметь в виду эту оговорку.