6.5. Гипотезы как изображения

Теперь мы придадим смысловое значение формулам (регулярным конфигурациям), представляющим гипотезы, а также идентифицируем их в соответствии с их значением.

Теорема 6.5.1. В где описаны выше и где <включение, частично упорядоченное множество, рассмотрим отношение означающее, что и что эти две конфигурации вычисляют одно и то же множество совместных

условных распределений вероятности на их выходных связях. Тогда является правилом идентификации, так что есть алгебра изображений.

Доказательство. Пусть с есть конфигурация, удовлетворяющая -регулярности. Поскольку у нас нет образующих с выходной арностью нуль, то Вспомнив, что все показатели связей суть множества, мы можем считать, что конфигурации представляют множество вероятностных распределений. Постоянные считаются вырожденными распределениями, вся масса которых сосредоточена в одной точке.

Если с содержит образующую с входной арностью и выходной арностью то запишем означает случайные переменные, ассоциированные с 1-й входной связью. Аналогично для выходных связей запишем см. рис. 6.5.1, где .

Поскольку на произвольной связи мы имеем не одно, а целый класс распределений, следует считать переменными, представляющими некоторое множество случайных векторных переменных. Когда мы выбираем по одному представителю для каждого образующая "вычисляет" результат, состоящий из определенных случайных переменных, число которых равно Дело обстоит так независимо от того, детерминирована или случайна: рассмотрим образующие в табл. 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3 и 6.4.1. Так же, как выбранные представители для всех принимают значения из соответствующих множеств, результаты вычисления принимают значения на некоторых множествах, обозначаемых переменными

Рис. 6.5.1

На низшем уровне структуры частично упорядоченного множества конфигурации с рассмотрим все . В силу предположения об условной независимости из разд. 6.4, их маргинальное условное распределение определяет совместное условное распределение как меру-произведение. (В частично упорядоченном множестве нет предшествующих образующих.) Это верно для каждого представителя класса распределений.

Теперь, переходя на всё более высокие уровни частично упорядоченного множества, определим последовательные результаты, вычисленные образующими. Поскольку циклов нет и множество предшествующих образующих для каждой образующей корректно определено, то такое построение единственно и приводит к корректно определенному множеству условных распределений случайных

Рис. 6.5.2 (см. скан)

переменных, ассоциированных с выходными связями конфигурации с. Следовательно, распределения для выходных связей определены и определение отношения имеет смысл.

Осталось показать, что оно удовлетворяет четырем условиям определения 3.1.1 первого тома. Условие состоящее в том, что есть отношение эквивалентности, выполняется с очевидностью,

поскольку определено через равенство некоторых множеств, частично характеризующих конфигурации. Условие выполняется, поскольку этого требует условие теоремы. Проверить выполнение условия можно, повторяя каждый шаг предыдущего построения распределений вероятности на выходных связях и замечая, что подобие означает одно и то же (условное) распределение вероятности на выходе для каждого шага. Условие наконец, следует из того же построения и по той же причине. Следовательно, есть правило идентификации, и алгебра корректно определена, что и требовалось доказать.

Теорема 6.5.1 позволяет строить системы гипотез комбинаторным способом, который ограничен лишь выбором и правилами регулярности . Мы проиллюстрируем это несколькими примерами (см. Примечания А).

На рис. показано одно изображение, выделенное прямоугольной рамкой. Оно состоит из всех регулярных конфигураций, отождествленных по модулю с конфигурацией, которая заключена во внутреннем прямоугольнике.

Это изображение объединено с изображением Они объединяются в большее изображение, обозначенное как и имеющее Изображение (от слова "полином") синтезировано на рис. Здесь и оно "означает" полином второй степени, вычисленный в одной (произвольной) точке.

Чтобы синтезировать изображение гипотезы, соответствующей полиному второй степени, вычисленному в трех произвольных точках, причем на результат наложен аддитивный гауссов шум, мы применили три копии как показано на рис. 6.5.3. У этого изображения

На рис. 6.5.4 показано изображение независимой выборки — трех наблюдений из экспоненциального распределения с произвольным положительным средним. Оно было синтезировано с использованием логарифма случайной переменной, равномерно распределенной на интервале [0, 1].

Непараметрическая гипотеза для случая двух выборок синтезирована на рис. 6.5.5. Обратите внимание на присутствие сложения (для сдвига) и умножения (для изменения масштаба). Для этой гипотезы Обычная нулевая гипотеза получается присоединением к этому изображению образующей назначения по входной связи с координатой 1 и образующей по входной связи с координатой 2.

Наконец, рассмотрим две байесовские гипотезы. В первой из них параметр вероятности (скажем, в восьуи испытаниях Бернулли есть случайная величина, равномерно распределенная

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.5.6 (см. скан)

Рис. 6.5.7 (см. скан)

на [0, 1]. Это порождает четыре значения соответствующего биномиального распределения , что показано на рис. 6.5.6.

Во второй гипотезе (рис. 6.5.7) среднее нормального распределения с дисперсией 1 с равной вероятностью принимает одно из трех (заранее не заданных) значений, скажем Это порождает три значения.

Байесовский вывод данных, связанный с этими двумя гипотезами, есть попытка сделать заключение о значении в первом случае и о значении во втором. Предполагается, конечно, что эти значения, однажды порожденные случайным образом, в процессе извлечения выборки остаются фиксированными.

Заслуживает упоминания любопытное следствие из нашего выбора Если применить преобразование подобия к конфигурации с, то случайные переменные, т. е. функции на ,

которые представляют с, будут изменены отображением s, связывающим соответствующие пространства. Это отображение, однако, сохраняет Р-меру, так что с и имеют одинаковое распределение (при фиксированных входах). Но тогда они эквивалентны по модулю что означает

Преобразования подобия, нетривиальные на тем самым вырождаются на в тождественную операцию.