5.5. Квадратичная функция энергии

Рассмотренные выше результаты принимают в особенности привлекательную форму, когда энергии взаимодействия являются квадратичными функциями от образующих. Результаты, которые мы здесь установим, остаются справедливыми, когда конфигурация представляет собой элемент сепарабелыюго гельбертова пространства (см. Hwang 1978), однако мы будем придерживаться более раннего предположения, согласно которому .

Если — неотрицательно определенная квадратичная форма, то может случиться так, что множество

некомпактно, а именно когда Н вырожденная. Поэтому следует соблюдать некоторую осторожность, применяя результаты последнего раздела.

Мы будем предполагать, что

так что

и пусть обозначает нормированную нормальную меру, -компоненты распределены одинаково и независимо по закону Разумеется, ничего не изменится, если добавить константу с в правой части (5.5.2); за счет выбора с мы сможем нормировать значение когда он существует.

При поиске предельной меры Р для замороженных образов мы можем немедленно предположить, что неотрицательно определенная матрица. В противном случае применима теорема 5.4.1, и она дает отрицательный ответ.

Следовательно, повсюду в дальнейшем будет предполагаться неотрицательно определенной. Однако можно кое-что сказать и о векторе в (5.5.2). Предположим сначала, что пространство значений так что существует вектор для которого Тогда

а это означает, что достигает минимума при Это прекрасно, нам как раз и нужно, чтобы минимум достигался.

С другой стороны, если Н достигает своего минимума, скажем, в то производная Фреше должна быть равна нулю в Но это означает, что

откуда в свою очередь вытекает, что или или .

Следовательно, в дальнейшем мы будем предполагать, что принадлежит пространству значений т. е. скажем . В этих предположениях вычислим характеристическую функцию для Для того чтобы это сделать, отметим, что соответствующая линейно-квадратичная форма может быть выражена

как

если вспомнить, что мера в знаменателе производной Радона — Никодима (5.5.3) соответствует квадратичной форме Однако выражение (5.5.6) равно

Здесь некоторая вещественная константа, а - вектор,

Обратная матрица в (5.5.8), конечно, существует, поскольку неотрицательно определенная.

Это приводит нас к характеристической функции — см., например, (Cramer 1945).

При только что сделанных предположениях мы получаем

Остается выяснить, каково асимптотическое поведение

и это будет решающим шагом в нашем анализе. Для этого запишем спектральное разложение

где — проекции. Отметим, что собственные значения, равные нулю (если таковые имеются), опущены. Поскольку принадлежит подпространствам, ассоциированным с мы получаем

При это выражение стремится к нулю, и (5.5.10) действительно стремится к

Лемма 5.5.1. Если неотрицательно определенная матрица,

то

где обозначает проекцию на нуль-пространство матрицы

Доказательство. Разложим произвольный на и внова воспользуемся спектральным разложением (5.5.11). Тогда

и мы заключаем после рассуждений, аналогичных тем, которые следовали за (5.5.11), что

что и требовалось доказать.

Объединяя теперь то, что мы получили выше, мы можем утверждать, воспользовавшись (5.5.9), что

и это приводит нас к приятному выводу, который мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 5.5.1. Для того чтобы замороженные образы имели корректно определенную меру Р, необходимо и достаточно, чтобы была неотрицательно определенной и Тогда Р — гауссова мера с ковариационным оператором я и средним

Теперь применим теорему 5.5.1 к трем случаям, первые два из которых совсем простые.

Пример 1. Пусть образующие имеют бесконечную арность и показатели связей любой заданной образующей все равны некоторому Пусть «полный» и

где каждый член соответствует паре связей и суммирование производится по всем парам. Нуль-пространство состоит из диагонального множества, которое, разумеется, некомпактно.

Чтобы получить разумную предельную меру на замороженных образах, мы должны выбрать вектор другими словами,

при

Тогда предельная мера имеет матрицу ковариаций, все элементы которой равны Все коэффициенты корреляции принимают значение 1.

Все члены (5.5.18), соответствующие энергиям взаимодействия, описывают притяжение: они склонны уравнивать показатели связей . А что изменится, если мы изменим лишь знак в (5.5.18) с минуса на плюс, переходя тем самым от притяжения к отталкиванию? При мы получаем антидиагональ

и матрицу ковариаций

так что коэффициент корреляции принимает значение —1. С другой стороны, при матрица невырожденная и все дисперсии становятся нулевыми: существует лишь единственный замороженный образ.

Пример 2. Пусть представляет собой конечную плоскую квадратную решетку. Тогда можно пронумеровать образующие как Все образующие будут иметь арность, равную четырем, связи обозначим как Все показатели связей образующей будут равны некоторому вещественному числу, скажем Энергия взаимодействия между двумя соседними образующими имеет форму где это показатели связей, соединенных через . Тогда

Эта матрица вырожденная, и ее нуль-пространство имеет размерность, равную единице; оно состоит из полей (т. е. -векторов), имеющих вид

Можно опять легко вычислить и коэффициенты корреляции между и равны 1, если четно, и —1 в противном случае.

Существует вариация этого образа, когда образующие имеют арность, равную 8. Это означает, что каждая образующая имеет 8 соседей, с которыми она соединена, а именно:

При тех же самых членах локального взаимодействия матрица теперь, очевидно, имеет полный ранг: существует лишь единственный замороженный образ на носителе предельной меры Р.

Третий пример сложнее, но также и интереснее для дальнейшего изучения.

Таблица 5.5.1 (см. скан)

Рис. 5.5.1

Пример 3. Образующие здесь будут параметризованы скажем, при арности 12; координаты связей приведены в табл. 5.5.1. Отметим, что показатели связей принадлежат Глобальная регулярность управляется характером соединения связей, как показано в третьей колонке таблицы. Локальная регулярность будет управляться отношением связей "равенство". Будем считать, что образующая имеет пять "мест" для связей в центре, справа, над центром, слева и под центром.

Например, образующие а, показанные на рис. 5.5.1 в виде набора из пяти кружков, и образующие обозначенные крестиками, могут объединяться, как это изображено в левой части рисунка при помощи пары связей : если

Аналогично объединение в правой части рис. 5.5.1, осуществляемое

при помощи пары связей регулярно, если

Смысл этой регулярности, конечно, состоит в том, что пять показателей образующих должны совпадать, когда они накладываются друг на друга. Поэтому регулярная конфигурация образует дискретное поле, которое можно естественным образом проиндексировать как Теперь рассмотрим вероятностную меру когда модель, управляемая регулярностью в (5.1.5), используется при

Поскольку бесконечно, мы должны интерпретировать (5.1.5) как производную Радона — Никодима по мере которая выбирается, как и прежде.

Что происходит, когда температура 8 падает до нуля? Теорема 5.5.1 немедленно подсказывает нам, что предельная мера сжимается до нуль-пространства матрицы здесь задаваемого ограничениями

Однако последнее представляет собой уравнение Лапласа в дискретной форме, так что замороженные образы состоят из дискретных гармонических функций на подмножестве

Теорема говорит нам также о том, что ковариационный оператор предельной меры представляет собой проектор на подпространство, описываемое уравнениями (5.5.27). Однако этот проектор должен быть симметричным и идемпотентным, и, таким образом, допускает разложение

С другой стороны, пользуясь свойством гармоничности поля, если К — ядро, ассоциированное с окрестностями, выбранными для лапласиана, который решает краевую задачу в заданной области, мы можем записать

где суммирование проводится по границе дискретного квадрата на плоскости. Представление (5.5.28) является общим для дискретных случайных гармонических функций, однако требование о том, чтобы оно соответствовало оператору проектирования как ковариационному оператору, еще больше ограничивает ковариационную структуру Мы не занимались этим вопросом более глубоко, однако он явно заслуживает дальнейшего изучения.

В последнем примере мы отправлялись от регулярной структуры, скажем которая была очень гибкой. На пространстве

мы ввели меру управляемую регулярностью При мы пришли к замороженным образам, в данном случае — гармоническим. Можно сказать, что регулярность более жесткая, чем Это еще один пример тенденции к регулярности, изучение которой мы начали в разд. 3.8 первого тома.