6.6. Алгебры изображений гипотез

Образующие, введенные в разд. 6.3 и 6.4, вместе с регулярностью <включение, частичная упорядоченность) приводят к пространству конфигураций по модулю правила идентификации из последнего раздела мы получаем корректно определенную алгебру изображений для статистических гипотез.

Если ограничить сохраняя получатся алгебры подызображений. В качестве иллюстрации упомянем одну из них, для которой множество образующих состоит только из

Назовем полученную в результате алгебру изображений

С другой стороны, пусть пространство образующих равно с тем отличием, что нормальные распределения заменены т. е. множеством распределений на вещественной прямой. Эту последнюю образующую по-прежнему можно считать имеющей две входных связи, первая из которых задает среднее значение, а вторая — среднеквадратическое отклонение. Ее «смысл» — это множество всех распределений на вещественной прямой с заданными двумя первыми моментами. Введем аналогично (6.6.2):

Рассмотрим отображение где заменяет на что будет обсуждаться ниже более подробно.

Теорема 6.6.1. Отображение является гомоморфизмом, если положить и расширить определение, приняв см. разд. 3.7.

Доказательство. Чтобы увидеть, что отображение гомоморфно, сперва заметим, что оно определено корректно. Если и

положим

где если не является образующей нормального распределения. Другими словами, мы начинаем с отображения образующих и затем стараемся расширить его на всё Можно теперь применить теорему 3.4.1, если отображение образующей ковариантно, т. е. если Это отношение выполняется тривиально, если не есть образующая распределения. Если -образующая распределения, то она ассоциирована с нормальной случайной величиной Как обсуждалось выше, означает "изменение стохастичности", так что, допуская некую нестрогость в обозначениях, Аналогично -это класс распределений (у всех заданы моменты порядков 1 и 2)

так что

Следовательно, ковариантно.

Заметим также, что имеют одинаковые связи, так что предположение о гомологичных связях из теоремы 3.4.1 выполняется. Теорема гарантирует, что является гомоморфизмом конфигураций.

С другой стороны, если отношение справедливо для то это значит, что выдают на выходе одинаковые распределения вероятности при заданных входных данных. Но "формулы" выглядят одинаково, за тем исключением, что нормальные распределения заменены множеством распределений общего вида о теми же первыми моментами. Вспоминая, что содержат лишь линейные арифметические операции, мы видим, что приводят к одному и тому же множеству распределений вероятности при заданных входных данных. Следовательно, справедливо соотношение и мы можем применить теорему 3.7.3. Она утверждает, что есть гомоморфизм изображений, что и требовалось доказать.

Проводя те же рассуждения в обратном направлении, мы видим, что есть корректно определенный гомоморфизм между двумя алгебрами изображений (см. Примечания А).

Здесь мы имеем дело с двумя научными теориями, выраженными в виде двух алгебр изображений Эти две теории оказались изоморфными относительно отображения они не идентичны, поскольку не оперируют в точности с одним и тем же множеством логических объектов, но их логические структуры совпадают.

Может показаться, что то же отображение будет являться гомоморфизмом, если арифметические образующие включают все перечисленные в табл. 6.3.2. Это, однако, неверно, как показывает попытка доказать, что из следует В данном случае можно лишь утверждать, что есть гомоморфизм конфигураций

Рис. 6.6.1

Для фиксированного 2 и заданного семейства Г остовов образующих рассмотрим множество пространств конфигураций вместе с их гомоморфизмами. На этой категории рассмотрим функтор см. разд. 3.5. Что он представляет собой в данном случае?

Вспомним, что образует конечные несвязанные объединения произвольных регулярных конфигураций. Новый тип соединения строится объединениями всех о, принадлежащих исходному 2. Если 2 — "частично упорядоченное множество", как предполагалось повсюду в настоящей главе, то (частично упорядоченное множество) (частично упорядоченное множество), так что применение данного функтора ничего не меняет. Именно этот случай упомянут в обсуждении, следующем после уравнения (3.5.6) в разд. 3.5.

Если, однако, 2 не замкнут по отношению к этому функтору, то мы получаем операцию, имеющую интересную статистическую .интерпретацию. Пусть, например, допускаются лишь связанные соединители частично упорядоченного множества в . Тогда мы

не сочтем конфигурацию, изображенную на рис. 6.6.1, регулярной. С другой стороны, она принадлежит регулярности включение, частично упорядоченное множеством Она "означает", что статистические испытания, представленные верхней частью диаграммы, повторяются, возможно, при других значениях параметров.

Заметим, что этого нельзя достичь, комбинируя образующую выборки с верхней частью рис. 6.6.1, поскольку последнее привело бы к тем же значениям параметров. Функтор представляет в настоящем контексте гипотезы, соответствующие сочетаниям статистических испытаний.