5.9. Матрица спектральной плотности для «линейный (у)»

Пусть образующие обладают арностью и пусть показатели связей являются вещественными числами. Мера (см. разд. 5.1) на будет выбрана как гауссова с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей, которая также будет обозначаться через и будет задана ниже. Остов образующей будет фиксированным, и мы рассмотрим тип соединения «линейный согласно которому соединители инвариантны относительно переноса.

Пронумеровав образующие индексом мы будем предполагать, что для каждого целого (каждой вершины) мы имеем случайную образующую с

Для каждого имеется гауссов вектор со средним, равным нулю, и ковариационной матрицей

где Предполагается, что эти векторы распределены одинаково и независимо. В качестве отношения связей

примем и будем считать, что выходная связь присоединяется ко входной связи

Накладывая условия на отношение связей мы получаем случайный процесс (Мы будем пользоваться записью к для ). Распределения случайного процесса будут заданы через ковариационную функцию

Главная цель, преследуемая нами в данном разделе, заключается в том, чтобы вычислить матрицу спектральной плотности для которой

Для процесса с векторными значениями при помощи предельного перехода мы определим распределения на циклически определенных конфигурациях с вершинами при . В своих рассуждениях мы будем следовать анализу, проведенному в работе .

Рис. 5.9.1

Сначала определим отношение эквивалентности на вершинах, затем расширим его на ребра: где принимает значения на Конфигурация задается выбором образующих где каждая образующая имеет выходные связи и входные связи Образующие располагаютсяна вершинах циркулянтного соединителя, определенного при помощи отношения эквивалентности а связи располагаются на соответствующих ребрах. Пример такой структуры показан на рис. 5.9.1.

Теперь мы располагаем конечным набором образующих и нам нужно вычислить распределение вероятности для конфигурации после того, как наложены условия через отношение связей, Это отношение связей можно описать компактной формулой

Здесь это вектор на месте и 0 во всех остальных позициях. Формулу (5.9.5) можно переписать, сделав ее еще более компактной:

где — основная циркулянтная матрица в . Если предположить до наложения условий через что образующие распределены одинаково и независимо с ковариационной матрицей

то плотность совместного распределения у задается как

где подходящим образом выбранная нормировочная константа и — квадратичная форма

Чтобы получить плотность совместного распределения после наложения условий отношением связей «равенство», мы

просто подставим выражение (5.9.6) в (5.9.9) и придем к квадратичной форме

Здесь матрица, заключенная в фигурные скобки, имеет вид

где отыскиваются по вычислении вышеприведенного выражения. (Они зависят только от и параметров Пусть

Тогда

где К — подходящая нормировочная константа. Выражение (5.9.13) дает нам плотность распределения X после наложения условий на отношение связей.

Можно сразу заметить, что С — блочная циркулянтная матрица, обладающая свойством что следует из Она также положительно определенная, так что матрица С является положительно определенной симметричной матрицей. Поскольку С — блочная циркулянтная матрица, можно воспользоваться теоремой 5.8.1. При этом мы немедленно получаем

Последний шаг состоит в том, чтобы связать с процессом Мы рассматриваем как риманову сумму, которая аппроксимирует

(пусть есть разбиение ). Теперь

определим ковариационную функцию процесса и матрицу спектральной плотности

и сформулируем результат, приведенный в работе (Thrift 1979).

Теорема 5.9.1. Предельные ковариации имеют спектральную плотность задаваемую (5.9.16), где Ф — эрмитова положительно определенная матрица при любом

Доказательство. Тот факт, что матрица Ф эрмитова, следует из Согласно (5.9.14), 2 положительно определенная для любого и любого Аппроксимируя для некоторой последовательности мы видим, что является положительно полуопределенной для каждого фиксированного Для того чтобы получить положительно определенную матрицу, предположим, что является собственным значением матрицы Матрица

положительно определенная при достаточно малом Нам также известно, что является собственным значением Однако если бы мы исходили из вместо , то пришли бы к выводу, что положительно полуопределенная. А это означает, что Ф положительно определенная, что и требовалось доказать.