1.3. Математическое изучение регулярности

Наше обсуждение до сих пор носило концептуальный характер, и мы лишь спорадически пользовались математическим формализмом. Теперь мы переключаемся на математическую формализацию регулярных структур — как тех, что уже упоминались выше, так и Других. Такая формализация, выполняемая с помощью точно определенного языка, является необходимым предварительным этапом математического изучения регулярных структур.

Многочисленные примеры, приведенные в предыдущем разделе, послужат для нас ориентиром и помогут выделить те математические понятия, которые будут использоваться в нашем исследовании. Эта ситуация совершенно идентична тому, как осуществляются и другие приложения математики: задача из прикладной области приводится к математическому эквиваленту посредством процесса абстрагирования, устранения второстепенного и выделения существенного. Что может в этих случаях разниться — так это та роль, которую должна играть математика в конструировании логических структур, которые должны отражать реально существующие регулярности.

Привычным стало отношение к прикладной математике как к средству достижения последовательно лучших приближений к тому, что наблюдается в реальности. Отправляясь от результатов наблюдений, возможно довольно примитивных, математик пытается придумать как можно более простую модель, согласующуюся с имеющимися данными. Модель считается хорошей, если она допускает экстраполяцию и на другие ситуации и если по мере поступления лучших данных они также согласуются с моделью. В противном случае модель приходится изменять — обычно она уточняется посредством введения еще одного члена, ослабления условия независимости или при помощи других модификаций неструктурного характера. В критических случаях модель признается совершенно неприемлемой и процесс синтеза модели приходится возобновлять с самого начала.

Осуществляя этот процесс, мы действуем на двух уровнях — аналитическом и эмпирическом. Мы пользуемся математической техникой, реализуем численные и нечисленные процедуры, привлекаем индукцию и другие логические принципы. Лабораторные и полевые наблюдения представляют собой единственную «внешнюю» информацию, которую мы имеем право использовать. Вспомним высказывание Юма в предыдущем разделе.

Согласно эмпирически ориентированной доктрине, доминирующей в научной деятельности, по крайней мере в англоязычном мире, только такую процедуру можно считать осмысленной. Любая теория должна допускать эмпирическую проверку, или, в соответствии с другой позицией, она должна быть такой, чтобы априори предполагалась возможность опровергнуть ее эмпирически. То, что не поддается наблюдению, не относится к научному исследованию.

Мы будем придерживаться менее позитивистского и менее прагматического подхода к использованию математических средств при создании моделей. Применительно к метафоре Холтона мы будем выделять компоненты аналитическое и тематическое измерения. Изучение регулярных структур будет проводиться именно под таким углом зрения, так что мы будем в большей степени заниматься аналитико-математическими аспектами и основными идеями

регулярности, чем эмпирическим изучением и проверкой применимости математических моделей.

Таким образом, мы не имеем права утверждать, что некоторая абстрактная регулярная структура адекватно описывает наблюдаемое явление. Нашей целью является теория, а не приложения в строгом смысле слова. Если, однако, теоретические построения оказываются достаточно «богатыми» и заслуживают изучения как таковые, то вполне возможно, что соответствующие результаты будут позднее иметь и утилитарную ценность. Об этом говорит весь опыт прикладной математики.

При построении формализма образов, который мы будем обсуждать в гл. 2, и при изучении соответствующих структур мы будем пользоваться анализом регулярных структур, возникающих в многочисленных конкретных ситуациях. Многие из них имеют чисто умозрительный характер, и их связи с «реальными» образами очень расплывчаты, как, например, это имеет место в гл. 6 тома 2 или в гл. 7, 9 данного тома. Сугубо умозрительный и «неэмпирический» подход возможно покажется непривлекательным прагматически настроенному читателю.

Как уже отмечалось, математическая теория на самом деле представляет собой набор частных случаев, трактуемых с единых позиций. Работа над теорией образов, излагаемая в трех томах, велась именно в этом ключе. Когда она начиналась (приблизительно в 1965 г.), существовал лишь логический каркас — некий образ мыслей, относящийся к образам; ни один конкретный пример не подвергался еще анализу с помощью математических средств. Первоочередной задачей, следовательно, являлось проведение такого анализа для ряда конкретных случаев; его результаты приводятся в двух предыдущих томах, а также в гл. 5—9 данного тома. Логический «клей», соединяющий эти частные случаи в нечто единое, изучается в первых разделах гл. 1—4 первого тома и в гл. 3 настоящего тома.

Различные понятия, с которыми мы имеем дело и которые будут формализованы в гл. 2, необходимо связать между собой. Мы стремимся создать единую теорию в том смысле, что ее основные понятия естественно согласованы друг с другом.

Примером, иллюстрирующим, что, собственно, мы имеем в виду, служит классическое понятие топологической группы. Топологическая группа — это не просто некоторое топологическое пространство, на котором определена операция группы. Кроме того, необходимо, чтобы групповая операция была непрерывна относительно заданной топологии: алгебраические и топологические свойства связаны между собой.

Подобным же образом при формализации таких понятий, как «сходство», «конфигурация», «изображение» и т. д., мы должны обладать уверенностью в том, что они взаимно согласуются. Так,

например, отношение связей соотносится с преобразованиями подобия посредством условия его -инвариантности (инвариантности относительно группы преобразований подобия, см. разд. 2.2); будет встречаться и множество других ситуаций, когда мы будем стараться объединить различные теоретические требования в единую теорию.