Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.2. Логика образов таксономической близостиПусть на плоскости даны две точки
Рис. 8.2.1 Разделим Г на
ограниченные нормалями к Г и двумя параллельными кривыми, находящимися на расстоянии При заданной непрерывной плотности (это будет подразумеваться в настоящей главе) случайного процесса нужно вычислить вероятность того, что каждое пробное множество
где функция множества Чтобы изучить поведение (8.2.2) в пределе, когда параметры
где 9 обозначает разбиение Г на дуги
Величина
Заметим, что наш функционал можно записать в виде
Докажем теперь основной предельный результат. Теорема 8.2.1. Поведение функционала
Замечание. В важном частном случае, когда
для некоторых целей такое приближение достаточно. Доказательство. Чтобы изложить существенные идеи доказательства с максимально возможной ясностью, мы разобьем его на ряд лемм. Заметим, что (8.2.5) имеет смысл не только для разбиений более общего вида, не обязательно состоящих из интервалов, задаваемых длиной дуги Допуская такие разбиения общего вида, докажем сначала монотонность Лемма 1. Если Е есть объединение двух непересекающихся борелевских множеств
Доказательство. Рассмотрим функцию
Поскольку
Полагая
получаем
что доказывает (8.2.8). Из этой леммы следует, что если
а это и есть свойство монотонности, отмеченное выше. В следующей лемме рассматривается влияние Лемма 8.2.2. Если
Доказательство. Поскольку среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, то
Для малых положительных и справедливо неравенство
Из (2.15) и (2.16) получаем
но поскольку
что доказывает лемму. Отсюда ясно, что не нужно беспокоиться о поведении Лемма 8.2.3. Если
когда разбиение бесконечно измельчается так, что максимальный диаметр его подмножеств стремится к нулю. Доказательство. Введем функцию для данного разбиения
так что наш критерий можно записать в виде
Но неотрицательные функции
поскольку в силу теоремы о среднем значении
При измельчении разбиения получаем предел
так что
для любого фиксированного Заметим, что неважно, какое именно разбиение используется, лишь бы максимальный диаметр его подмножеств стремился к нулю. В частности, разбиение точками приводит к пределу (8.2.19). Рассмотрим теперь случай, когда плотность ведет себя плохо. Лемма 8.2.4. Если
то
Доказательство. Рассмотрим функции что выполняется (2.2.25). Действительно,
это неравенство следует истолковывать как обычно, если интеграл расходится. Он и в самом деле расходится, поскольку
что доказывает утверждение леммы. Неравенство (8.2.29) было использовано для доказательства тою, что если Доказав эти леммы, мы можем продолжить доказательство теоремы. В силу последней леммы можно исключить случай
Если
Но лемма 8.2.2 показывает, что последний член может быть сделан сколь угодно малым при достаточно малом
где
Значение небольшой модификации доказательства леммы 8.2.3. Итак,
где использовано замечание об интегрируемости —
что вместе с (8.2.34) завершает доказательство теоремы. Теперь можно продвинуться дальше и задать такой вопрос: что произойдет, если принять более «осторожную» индуктивную логику образования таксона? Если потребовать не только того, чтобы ни одно
Это приводит к следующей предельной теореме. Теорема 8.2.2. Поведение величины
где Доказательство практически то же, что и в теореме 8.2.1, за исключением вида подынтегрального выражения, которое теперь заменяет
Заметим, что особое условие (условие сингулярности) в альтернативе теоремы остается прежним: значения Теперь можно принять еще более консервативный подход к индуктивной логике, на которой основана эта таксономическая процедура. Вместо требования, состоящего в том, чтобы
Чтобы при этом получить невырожденный предел, мы должны считать, что к возрастает, скажем, пропорционально
Тогда получаем совершенно иной результат. Теорема 8.2.3. При данных условиях функционал
где
Доказательство. Теперь функционал принимает вид
где Изучим асимптотическое поведение
Заметим, что в процессе стягивания
где
Итак,
которое стремится к Вместо этого теперь предположим, что
где
Следовательно,
где
|
1 |
Оглавление
|