7.7. Другие задачи и расширения

Полученные выше результаты ясно показывают, что социологические образы, синтезированные в разд 7.2, поддаются математическому изучению. Мы показали, что рассмотренная динамика отношений приводит к вероятностной мере на пространстве конфигураций, которая управляется регулярностью. Мы также вывели понятие типичного множества в пространстве конфигурации и установили, что закон больших чисел справедлив для больших конфигураций. Если бы мы не ввели понятие типичного множества, то нам не удалось бы прийти к закону больших чисел. Прежде чем перейти к более общим образам, нужно ответить на несколько вопросов и нам представляется, что начать надо со следующих:

Можно ли доказать, что относительное число компонент стремится к пределу при стремящемся к бесконечности, и если так, то каков этот предел?

Б. Если не является конечным множеством, так что количество возможных х-значений бесконечно, то каким образом можно расширить теорему 7.6.1, чтобы охватить бесконечный (возможно, непрерывный) случай? Существует ли решение соответствующего нелинейного интегрального уравнения, единственное ли оно, какие для этого требуются предположения относительно гладкости

Минимальная нестабильность, по-видимому, приводит для больших конфигураций к решению

Попробуйте доказать это и изучите (7.7.1).

Г. Существует ли центральная предельная теорема для больших конфигураций, соответствующая теореме 7.6.2, и если это так, то каков асимптотический ковариационный оператор?

Успех проведенного нами синтеза образов говорит о возможности нескольких перспективных расширений модели.

A. Пусть стратегии (и арности) будут зависимыми от времени, что дает возможность любой образующей приспособляться к той или иной окружающей среде. Стратегии можно выбрать так, чтобы они способствовали доминированию со стороны какой-то конкретной образующей или группы образующих.

Б. Можно позволить образующим нести больше информации в своем векторе признаков, например информации, касающейся пола и возраста, и позволить этим признакам влиять на поведение образующей.

B. Могло бы существовать несколько типов связей, действующих в параллель, в дополнение к доминированию (активность) и подчинению (пассивность), например связей, касающихся таких аспектов поведения, как

коммуникабельность, склонность к сотрудничеству;

половое влечение;

обмен информацией.

Г. Можно ввести матрицу взаимодействий на не обязательно в смысле физического расстояния, так, что

Если X — функция, убывающая с расстоянием, то это, возможно, будет соответствовать модифицированной модели (с множителем

Важная проблема, с которой мы сталкиваемся при анализе социологических регулярных структур, заключается в следующем: Как можно при имеющихся эмпирических данных о социальной системе сделать вывод о лежащей в ее основе математической структуре? В рамках нашего подхода этот вопрос остается открытым.