7.2. Регулярность структур с доминированием

В нашей модели образующие будут представлять отдельных членов группы или целые группы. Арности могут варьироваться на однако входные и выходные арности для любой фиксированной образующей остаются постоянными во времени.

В дальнейшем мы повсюду будем предполагать, что имеем дело с единственным биологическим видом и социальная структура будет однородной. Это означает, что индекс класса образующих будет иметь одно и то же значение. При рассмотрении неоднородных социальных структур, например с учетом пола, рода деятельности и классовой принадлежности, должно быть разбито на несколько индексных классов образующих. В дальнейшем мы не будем больше упоминать о величине поскольку ее значение всюду постоянно.

Каждой образующей поставим в соответствие помимо других возможных признаков скалярный признак выражающий социальное влияние образующей и степень ее активности. Значение признака может изменяться со временем.

Группа преобразований подобия будет состоять, как и для многих других регулярных структур, из всевозможных перестановок, оставляющих связи без изменения: если . О связях мы поговорим ниже. Как будет показано, две образующие могут быть подобными, несмотря на различные х-признаки.

Направленная регулярность, формализованная в виде соединения о выражает то, как образующие, соединенные посредством и, доминируют или не доминируют друг над другом. Если входная связь присоединена к выходной связи то это означает, что доминирует над Например, на рис. 7.2.1 доминирует над которая в свою очередь доминирует над а последняя доминирует над Образующая изолирована от остальных.

Значения -признаков показаны на рисунке в нижней половине кружков, представляющих образующие; в верхней половине указаны идентификаторы образующих. Значения х-признаков приведены также во второй колонке табл. 7.2.1.

В любой регулярной конфигурации с образующие будут пронумерованы посредством координат образующих

, а соответствующие связи — координатами связей Иногда будет представлено одним индексом. При нумерации связей мы будем придерживаться соглашения, согласно которому сначала будут идти входные связи а затем — выходные .

Рис. 7.2.1

Таблица 7.2.1 (см. скан)

Что касается свойств инвариантности для координат конфигураций, читатель должен обращаться к гл. 3.

Если задан х-признак и показатели связей являются

неотрицательными числами, мы будем предполагать

где Интерпретация двух условий (7.2.0) заключается в том, что первое из них выражает

предел способности нейтрализовать воздействие со стороны других индивидов, пытающихся доминировать над (через показатели входных связей), а также способности доминировать над другими (эта способность выражена через показатели выходных связей).

Это условие выглядит естественным в любых образах доминирования. У каждого индивида две цели — оставаться независимым от других и в то же время усилить свое влияние. Рассматриваемое условие говорит о том, что способность достижения этих целей ограничена и что она может варьироваться от образующей к образующей в зависимости от их х-признаков.

Смысл второго условия в (7.2.0) заключается в том, что для любой образующей стремление к независимости превалирует над желанием оказывать влияние на других. Можно представить себе ситуации, в которых это предположение не будет естественным. На самом деле автор придерживается мнения, что при изменении этого предположения возникнут некоторые очень лыбопытные образы доминирования. Этот вопрос заслуживает изучения, но здесь мы им заниматься не будем.

Теперь определим регулярность; локальной регулярностью будет

Следовательно, если выходная связь образующей с показателем присоединяется к входной связи образующей с показателем то при использовании (7.2.1) мы получаем неравенство Оно выполняется при любом показателе входной связи образующей и любом показателе выходной связи образующей

Если, далее, образующие связаны в цепочку

так что выходная связь присоединяется к входной связи то мы видим, что показатели связей упорядочены монотонно. Циклы исключаются, и упорядочение транзитивно. Если в регулярной конфигурации с можно найти цепочку, ведущую от некоторой к некоторой или если то мы записываем это в виде Нетрудно видеть, что отношение устанавливает на с частичный порядок.

Поэтому глобальная регулярность должна приводить к частично упорядоченному множеству. Больше никаких требований мы налагать не будем, так что имеем просто

Чтобы продолжить синтез образов выберем образующих помощи независимой одинаково распределенной

выборки в соответствии с вероятностной мерой в пространстве образующих После того как образующие выбраны, мы формируем множество всех регулярных конфигураций, которые могут быть получены из путем соединения связей в соответствии с правилом регулярности Заметим, что — конечное множество, хотя его размер может быть очень большим.

В пределах фиксированной конфигурации с те образующие над которыми не доминируют другие, мы будем называть управляющими с. Все остальные образующие в с, кроме изолированных, находятся под доминирующим влиянием по крайней мере одной управляющей.

При малых значениях удобно воспользоваться иллюстрацией структуры с доминированием, для чего используются диаграммы конфигураций, такие, как на рис. 7.2.1. Для больших это практически невозможно, и нам придется довольствоваться описательной статистикой, которая дает нам представление о некоторых свойствах нашей структуры.

Один из таких статистических показателей — это частота связей

Нормированной частотой связей будем называть При никто ни над кем не доминирует, другими словами, наблюдается полная независимость. Противоположная крайняя ситуация имеет место, когда

Здесь больше никаких связей соединить нельзя. Такое состояние будем называть насыщенным доминированием. Насыщенное доминирование можно реализовать многими способами. Когда имеет место насыщение, это означает, что множество внешних связей состоит только из входных связей, или только выходных связей, или пусто.

Другие интересующие нас статистические показатели — это нормированное количество входных связей и выходных связей а также соответствующие величины для внешних связей. Для двух заданных регулярных конфигураций последние величины дают нам некоторое представление о том, как может выглядить о

Понадобится также параметр количество соединенных подкомпонент с. Для случая, описанного в табл. 7.2.1, например, величина принимает значение, равное 2. Эта величина, так же как и ее нормированный вариант говорит

нам о том, как структура доминирования строится из подструктур, изолированных друг от друга.

Пусть с — регулярная конфигурация. Рассмотрим одну из ее образующих например на рис. 7.2.1. Введем величину, называемую отношением независимости

Равенство имеет место, когда все связи одинаковы. Тогда общий показатель связей равен, самое большее, Большое значение величины означает, что направляет большую часть своей «мощности» на то, чтобы нейтрализовать влияние со стороны других, и меньшую на то, чтобы доминировать над другими. Значение наблюдается, когда показатели всех выходных связей равны нулю (и какой-то показатель входной связи положителен). На рисунке мы имеем значение, оказавшееся недостаточным, чтобы избежать доминирующего влияния со стороны Однако если изменит свою стратегию и перейдет к режиму что согласуется с то отношение независимости и не сможет доминировать над модифицированной образующей

Стратегию любой образующей можно поделить на две части. Сначала выбирается отношение независимости, как уже говорилось выше. После этого выбираются показатели связей, так, чтобы не нарушалось (7.2.0) или (7.2.7). От того, как это будет сделано, зависит распределение максимальной мощности по связям отталкивания, т. е. входным связям, и связям притяжения, т. е. выходным связям. Однородная стратегия, которая будет принята в некоторых моделирующих экспериментах, заключается в том, что все показатели входных связей равны между собой с общим значением, скажем, и показатели всех выходных связей также равны друг другу с общим значением Тогда должно иметь место и

так что

Другое, более резкое изменение стратегии заключается в том, чтобы изменить арности, однако в последующем это не будет дозволено.

Прежде чем начать изучение динамики конфигураций, мы должны рассмотреть отношения близости в . В дальнейшем при помощи индекса к мы будем нумеровать выходные связи, а при входные

связи, Рассмотрим регулярную конфигурацию с и возможную пару связей .

Пусть будет операцией над конфигурацией, которая соединяет связи, если это разрешено и если они не были соединены до этого, а в противном случае оставляет их без изменения. Аналогично определим которая открывает связи, если это разрешено и если они были соединены до этого, а в противном случае оставляет их без изменения. Все другие соединения также остаются без изменений. Пусть Т обозначает любое или когда и I варьируются по своим возможным значениям.

Начиная с исходной конфигурации с определим итеративно

где время, это либо одна из либо для каждого значения Уравнение (7.2.10) описывает историю развития структуры доминирования. В следующем разделе мы проанализируем вероятностные свойства такой истории.

При заданной

смотрим окрестность с в пространстве конфигураций

кроме одной пары связей. (7.2.11)

Разделим окрестность на положительную и отрицательную части

Воспользовавшись операторами Т, мы видим, что

Поэтому две последовательные конфигурации либо равны, либо принадлежит положительной или отрицательной окрестности Функция изменяется только «маленькими шагами».

Следует заметить, что отношение «близости», выражаемое рассмотренными выше окрестностями, симметрично.

Действительно, утверждение с эквивалентно утверждению с (с); оба они означают, что конфигурация может быть получена либо одной операцией либо одной

Нам также потребуется понятие маргинального множества. При заданном множестве натуральных чисел мы обозначим через

множество подконфигураций, получаемых из любой путем удаления всех кроме и оставляя связи от любой соединенными, если они были соединены в с.

Это построение естественным образом определяет проектирующее отображение

Отметим, что все члены маргинального множества регулярны по отношению к Это следует из того факта, что тип соединения 2 является монотонным.

Когда на задана вероятностная мера Р, она порождает меру на маргинальном множестве. Эта мера

естественно определяется как

для любой с, принадлежащей маргинальному множеству.