3.5. Категории конфигураций

В данном разделе будут рассматриваться гомоморфизмы конфигураций, заданные в пространствах конфигураций с той же (фиксированной) глобальной регулярностью, тип соединения 2 будет задаваться на некотором (фиксированном) семействе остовов образующих и . Определение 3.4.1 допускает гомоморфизмы более общего вида, однако ими мы займемся несколько позже.

Следующая теорема проливает свет на алгебраическую структуру регулярных структур; она будет использована нами в дальнейшем.

Теорема 3.5.1, Пусть задано некоторое фиксированное семейство Г остовов образующих и на Г задан тип соединения 2; рассмотрим множество всех соответствующих пространств

конфигураций вместе с гомоморфизмами . В таком случае множество образует категорию.

Доказательство. Очевидно, что для любого заданного на , тождество представляет собой гомоморфизм -Рассмотрим, кроме того, два гомоморфизма для трех пространств конфигураций заданных на , и групп преобразований подобия

В таком случае отображение — также представляет собой гомоморфизм. Во-первых, гомоморфно отображает . Во-вторых, при

так что условие (I) определения 3.4.1 выполняется. В-третьих, при

так что

и, следовательно, условие (II) указанного определения выполняется. Во всех конкретных категориях операция композиции ассоциативна. Что и требовалось доказать.

Наша категория пространств конфигураций имеет очень общий характер, например («линейный»), («дерево»), («частично упорядоченное множество»), («квадратная решетка») и т. д., однако часто мы будем рассматривать более ограниченные категории. Они будут отмечаться при помощи определяющего прилагательного, помещаемого в скобки.

Рассмотрим некоторые функторы, заданные на категориях конфигураций, и начнем с рассмотрения тривиального функтора обозначаемого как . В данном случае это некоторое фиксированное пространство конфигураций, заданное на типе соединения Всякому объекту из функтор ставит в соответствие пространство конфигураций Паре объектов

и некоторому гомоморфизму функтор ставит в соответствие отображение и легко убедиться в том, что эти отображения включают тождественное отображение, если — и когда обе части имеют смысл.

Еще более важным является функтор переводящий всякое где состоит

изо всех конечных несоединенных объединений из . Любой паре и заданной на , и гомоморфизму функтор ставит в соответствие отображение действие которого заключается в том, что гомоморфизм просто применяется к каждой несоединенной конфигурации, входящей в .

Теорема 3.5.2. есть функтор.

Доказательство. В общем случае конфигурацию, принадлежащую можно записать как причем всякая и соединения между различными отсутствуют. В таком случае для фиксированного имеем, что

причем снова между различными соединения отсутствуют. Очевидно, однако, что объект (3.5.5) принадлежит и, следовательно, отображает объект категории в объекты категории Более того, если то Наконец, если то с учетом введенной нотации

следовательно, действительно является функтором. Что и требовалось доказать.

Если то образует категорию пространств конфигураций, у которых глобальная регулярность выражается как отсутствие соединений между линейными цепями. Если — «дерево», то, применяя функтор мы получаем

пространство конфигураций с глобальной регулярностью типа «лес». Если то функтор приводит к глобальной регулярности в виде циклов и множеств циклов и так далее.

Отметим, что если замкнут относительно применение не приводит к получению каких-то новых

результатов; соответствующим примером служит случай

Рассмотрим еще один функтор — переводящий («одноатомный» 2) в («дискретный»), так что в результате в любой конфигурации все связи оказываются разорванными. Этот функтор отображает всякий объект категории («одноатомный» 2) в «дискретный», и всякий гомоморфизм что описывается следующим соотношением:

где обе конфигурации имеют изолированные образующие. Отметим, что определена, поскольку одноатомная и, следовательно, любая одноатомная конфигурация регулярна.

Наш следующий функтор приводит категории пространств конфигураций над композициями к категориям, соответствующим . Точнее, функтор отображает объекты где в объекты и гомоморфизмы определяемый как

где «внешние» соединения между рассматриваемыми как образующие, должны быть такими же, как между Отметим, что определена, поскольку Глобальная регулярность, определяемая объекта, соответствующего правой части выражения (3.5.8), является правильной, поскольку соединения - задаются , и отношения связи в и одинаковы. Следовательно, функтор.

Операция, отображающая произвольное пространство конфигураций на в монотонное расширение 2, тоже, казалось бы, является функтором. Это, однако, не так, поскольку гомоморфизмы в такого рода пространствах конфигураций не имеют естественных продолжений до гомоморфизмов монотонных расширений 2. Автору, во всяком случае, не удалось построить такое продолжение.

Очевидно, что необходимо тщательно изучить перечисленные, а также и другие категории и функторы пространств конфигураций, но здесь мы не будем этим заниматься. В следующем же разделе мы обратимся к теоретико-множественным операциям на пространствах конфигураций.