Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.6. Большие конфигурации — аналитические результатыМножество множестве состав Рис. 6.4.2 (см. скан) Пусть, далее,
описанная в разд. 7.4 и обсуждавшаяся в связи с (7.5.1). Когда размер выборки стремится к бесконечности, величины
где
Вдобавок к (абсолютным) частотам связей мы будем пользоваться относительными частотами связей (показателей)
и маргинальными частотами связей (показателей)
Заметим, что, поскольку
Относительные частоты связей описывают важный аспект статистической топологии конфигураций, центрального понятия в нашем подходе. Покажем теперь, что топология больших конфигураций в статистической сходимостью. Главным результатом является следующая интуитивно неочевидная предельная теорема. Доказательство оказалось сложным и мы не сумели его упростить. Теорема 7.6.1. Относительные частоты связей
Доказательство. Сначала покажем, что система (7.6.7) имеет по крайней мере одно решение. Будем предполагать, что Очевидно, что все функции
непрерывны и строго возрастающие по всем переменным Если
так что
Отметим, что
откуда
Теперь можно установить существование решения. Однако нам неизвестно пути более простого, чем то, что последует и что может показаться несколько искусственным. Рассмотрим функцию и значениями в виде вектора с
при
для следующих
так что
Аналогично
а также
Теперь докажем, что матрица
Тогда для любого собственного значения к матрицы М должно выполняться условие
Следовательно,
так что к лежит на окружности радиуса Таким образом, вещественные части всех собственных значений
Здесь
вдоль траектории мы имеем дифференциальное уравнение
или
так что
Следуя вдоль траектории Аналогично дело обстоит для имеем
что в свою очередь означает, что
и мы показали, что система уравнений (7.6.7) имеет решение. Позже мы покажем, что это решение единственное. Если конфигурация с имеет (абсолютные) частоты связей
где
Первый коэффициент в (7.6.30) объясняется соединением подмножеств выходных связей
где Сравним эту вероятность с вероятностью множества
(кликните для просмотра скана) и аналогично для
так что
обращаясь к пяти произведениям в правой части (7.6.32). Мы уже видели по (7.6.42), что
Внутренняя сумма стремится к
Аналогичным образом для
Для Продолжая в том же духе, мы приходим к грандиозному выражению:
Если ввести обозначение
Пусть принадлежит к области, в которой мы работаем, и рассмотрим функцию
мы получаем
Полагая
Теперь выберем такими, чтобы они удовлетворяли стеме уравнений (7.6.7), что, как нам известно, возможно. Тогда выражение в квадратных скобках (7.6.51) сводится к
так что
С другой стороны, дифференцируя еще раз и воспользовавшись соотношением в (7.6.49), мы получаем
После некоторых упрощений мы приводим это выражение к
где равенство имеет место только при Это означает, что
так что
Здесь Теперь можно завершить доказательство теоремы. Пусть
Полное число
С другой стороны, если
то предельное отношение (7.6.57) показывает, что
и с использованием оценки (7.6.59) мы получаем
Эта величина стремится к нулю при Однако рассуждения, проведенные выше, были основаны на предположении, что все Замечание 1. Чтобы действительно решить систему численно, мы могли бы воспользоваться процедурой, полученной при решении дифференциального уравнения (7.6.23), например, при помощи алгоритма Рунге-Кутта. Как раз это мы и имели в виду, вводя уравнение (7.6.23). Для того чтобы избежать повторного вычисления
При всех входных значениях, которые были опробованы, эта процедура быстро сходилась к решению. Однако у пас нет доказательства сходимости численной схемы для (7.6.63), поэтому к нашим результатам следует относиться с осторожностью. Замечание 2. Возможно ли доказать справедливость закона больших чисел для статистической топологии в более «подробном» смысле? Точнее, если Замечание 3. Доказательство устанавливает справедливость утверждения, но не объясняет причины наблюдающегося предельного поведения. Хотелось бы достичь лучшею интуитивного понимания этой своеобразной предельной теоремы.
|
1 |
Оглавление
|