5.12. Матрица спектральной плотности для «решетка (у)»

После анализа, проведенного в разделах 5.8-5.11, возникает вопрос о том, можно ли применить этот подход к другим регулярным структурам. Здесь мы убедимся, что это так. В качестве типа соединения выберем «решетка в двух измерениях. Чтобы упростить обозначения, будем предполагать, при некоторой потере общности, что образующие будут иметь форму, показанную на рис. 5.12.1.

Рис. 5.12.1

Показатели связей по-прежнему являются вещественными числами, и мы будем применять обозначения, проиллюстрированные на рисунке:

Меру введем таким образом, чтобы вектор показателей связей . Для

имел гауссову вероятностную меру с нулевым средним и ковариационной матрицей

Отношение связей «равенство»; введем через соединения

что соответствует двумерному графу решетки Конечно, множество вершин графа это а множество ребер —

Чтобы вычислить предельные ковариации и их матрицу спектральной плотности, мы будем рассуждать по аналогии с линейным случаем. Определим отношение эквивалентности так что двумерная (бесконечная) решетка аппроксимируется решеткой на двумерном (конечном) торе. Конфигурация задается выбором образующих

где имеет выходные связи и входные связи Образующие располагаются в вершинах графа на торе, а связи — вдоль соответствующих ребер. Теперь у нас конечное число образующих, и нужно вычислить распределение вероятности после наложения условий через отношение связей .

Пары связей (5.12.4) берутся по модулю и

где

Это можно также выразить через основную циркулянтную матрицу в

Если предположить, что образующие распределены (первоначально, до того, как накладывается влияние регулярности) независимо и одинаково с ковариационной матрицей

то плотность совместного распределения для задается как

где нормировочная константа, а квадратичная форма

Как и прежде, чтобы получить плотность совместного распределения для после наложения условий через «равенство», мы подставляем (5.12.9) в (5.12.12). Результатом будет квадратичная форма с матрицей

или

Пусть

Согласно теореме 5.8.1, обращая матрицу нашей квадратичной

формы, получаем

где риманова сумма, которая аппроксимирует

Положим

Это обращение матрицы спектральной плотности для процесса . Как и прежде, матрица Ф положительно определенная и эрмитова при всех Положив и записав

мы получаем результат Трифта.

Теорема 5.12.1. В определенном выше случае предельные ковариации соответствуют матрице спектральной плотности задана в (5.12.20).