Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.7. Асимптотически минимальная энергияРезультаты предыдущего раздела показали, что замороженные образы соответствуют минимальной энергии. Важно поэтому уметь находить конфигурации, обладающие минимальной энергией. Часто это можно сделать, по крайней мере асимптотически, когда конфигурация становится большой, Чтобы исследовать вопрос о том, как отыскивать конфигурации минимальной энергии, вернемся пока к конечному случаю и предположим, что
где
где
Относительная энергия будет равна
где Теперь нужно только рассмотреть возможные значения вектора относительных частот для пар связей Если мы интерпретируем как то, что Условие 5.7.1. Сеть, ассоциированная с 2, стремится к бесконечности. Теперь введем необходимые определения. Определение 5.7.1. Последовательность Определение 5.7.2. Множество
Разумеется, множество Теорема 5.7.1. Множество Доказательство. Рассмотрим последовательность
Мы покажем, что множество Без потери общности будем предполагать, что
так что
при
при
конфинальна. Так как последовательность
конфинальна, то конфинальна также и Для того чтобы продвинуться дальше, вспомним, что в разд. 3.8 первого тома было показано, что при то выпуклость — это как раз то свойство, которое желательно установить. Чтобы это сделать, введем бинарную операцию о из 2 в 2, такую, что: Условие 5.7.2. Бинарная операция о обладает следующими свойствами: 1. Она коммутативна и ассоциативна. 2. 3. Если Нам также потребуется: Определение 5.7.3. Тип соединения 2 называется однородным по отношению к бинарной операции 1. Для любых 2. Для любых
Замечание. В выражениях (5.7.12) — (5.7.14) мы воспользовались обозначениями, аналогичными (5.7.3): Проиллюстрируем определение 5.7.3 несколькими частными случаями, к которым мы будем возвращаться позже. Пример 1. Пусть тип соединения Пример 2. Пусть тип соединения
Выражение (5.7.13) превращается в
и наконец (5.7.14) сводится к
Пример 3. Предполагая тип соединения
Тогда Теперь мы готовы сформулировать еще один результат, взятый из работы (Hwang 1978). Теорема 5.7.2. Если 2 однородный, то множество Доказательство. Если векторы
Отсюда следует, что
Последнее можно преобразовать к виду
Применим теперь соотношения (5.7.12) и (5.7.14), пользуясь коммутативностью бинарной операции. Таким образом для отношения в числителе (5.7.21) получаем
Рассмотрим, далее, вектору
Вспомнив из доказательства теоремы 5.7.1, что множество F замкнуто, мы почти непосредственно приходим к выводу о том, что В линейном случае было показано, что множество F является многогранником. Нам не известно, справедливо ли это также при более общих типах соединения. Отметим, однако, что к примерам 2 и 3 можно применить теорему 5.7.2. Мы надеемся, что можно построить более общее понятие "однородных конфигураций", применимое к любому 2, согласно которому соединения остаются одними и теми же повсюду внутри остова конфигурации.
|
1 |
Оглавление
|