3.4. Формула обращения Мёбиуса
Формула
является частным случаем формулы
где 
произвольная функция. Нашей задачей является отыскание формулы, явно выражающей g через 
. Если эта формула (см. 3.41) известна, то ее доказательство можно сделать значительно более коротким по сравнению с рассуждениями, связанными с ее выводом. Мы, однако, получим эту формулу, не предполагая ее заранее известной. Если
где 
простые числа, то d делит 
тогда и только тогда, когда
где 
Тогда формула
может быть записана в виде
Так как эта формула справедлива для всех значений 
то ее можно использовать для
В этом случае получаем, что
Вычитание дает равенство
Таким образом, мы заменили одну из сумм для 
суммой для 
Продолжая этот процесс, получим, что
и, окончательно,
Подстановка 
к, дает
Эта формула выражает функцию 
через функцию 
Она может быть также переписана в виде
где
причем 
или 1 для всех 
Если положить
для любого 
то верхний предел суммирования можно увеличить до любого желаемого предела. В частности, мы можем записать
Это эквивалентно теореме 3.41.
3.41. Формула обращения Мёбиуса. Если
то
где 
функция Мёбиуса,
Формула обращения Мёбиуса может быть переписана также в другом виде. Если положить 
то получим
Наиболее сложной частью доказательства формулы обращения Мёбиуса является определение функции Мёбиуса. Как только эта функция определена, легко проверить, что
Это эквивалентно свойству
Другими словами, как заметил Рота [1964], функция Мёбиуса является обращением дельта-функции в области целых чисел, в которой частичный порядок определяется отношением делимости. Если это установлено, то не составляет труда доказать, что если
то
Доказательство проводится в одну строку:
Аналогично можно доказать и другую форму теоремы.
3.42. Мультипликативная теорема обращения Мёбиуса. Если
то
Доказательство.
Для перечисления неприводимых многочленов более полезна исходная форма обращения Мёбиуса. Из теорем 3.41 и 3.35 непосредственно следует
3.43. Теорема.
Если 
Даже для больших значений к эта формула легко поддается обработке Например,
В общем случае формула обращения Мебиуса позволяет выразить 
как сумму 21 членов, где 
число различных простых делителей к
Задачи
(см. скан)
