Глава 8. Недвоичное кодирование

8.1. Схемы модуляции

До сих пор мы рассматривали только задачу кодирования и декодирования для двоичного симметричного канала, входные и выходные символы которого суть 0 и 1.

В большинстве приложений кодовая последовательность из нулей и единиц подается на модулятор, превращающий эти символы в определенные функции времени.

Рис. 8.1. Представление символа 0.

Рис. 8.2. Представление символа 1.

Результирующие временные сигналы используются для управления амплитудой передаваемых сигналов, которые могут представлять собой, например, напряжение или мгновенную мощность, излучаемую радиопередатчиком.

Рис. 8.3. Представление последовательности 0001101.

Например, символу 0 может соответствовать функция, изображенная на рис. 8.1, а символу 1 — функция, изображенная на рис. 8.2. При этом кодовой последовательности 0001101 будет соответствовать модулирующая функция, изображенная на рис. 8.3. Аддитивный шум приводит к тому, что на приемное устройство поступит сигнал, изображенный на рис. 8.4. Предположим, что приемное устройство осуществляет квантование полученного непрерывного сигнала на соответствующие временные интервалы, как показано на рис. 8.5. Каждый отрезок функции на этих интервалах демодулируется затем

с наибольшей вероятностью как 0 или 1. Полученный сигнал, изображенный на рис. 8.5, должен быть демодулирован как 0001001. Демодулированный сигнал подается на декодер, который должен попытаться исправить ошибку в пятой позиции.

Хотя символы 0 и 1 можно представлять многими различными способами, каждый конкретный выбор сигналов не существен для устройств кодирования и декодирования.

Рис. 8.4. Наложение шума на последовательность 0001101.

Они оперируют только последовательностями из нулей и единиц, которые кодер посылает на модулятор, а декодер получает с демодулятора.

В недвоичном случае также возможны многие схемы модуляции. Мы кратко рассмотрим три таких способа для алфавита из пяти символов: 0, 1, 2, 3, 4. Они изображены на рис. 8.6.

Рис. 8.5. Квантование на временные интервалы зашумленного представления последовательности 0001101.

При использовании ортогональной модуляции кодовое слово 140343 представляется сигналом, изображенным на рис. 8.7. При прохождении по каналу передаваемый сигнал искажается шумом. Полученный сигнал может иметь вид, представленный на рис. 8.8. Приемник демодулирует сигнал и перекодирует его в последовательность символов. Если шум в канале слаб, то демодулятор сравнительно легко принимает правильные решения. В рассматриваемом примере демодулятор сможет правильно демодулировать первый символ как 1 и второй символ как 4. Может, однако, возникнуть и более сильный шум, приводящий к ошибке демодуляции. В данном примере демодулятор может решить, что третий символ есть 1. Такое неправильное решение называется ошибкой в символе. Так как в течение четвертого временного интервала шум слаб, то демодулятор правильно решает, что четвертый символ — 3.

На пятом временном интервале сигнал настолько слаб, что демодулятору лучше ничего не делать, чем принимать сомнительное решение. Демодулятор отказывается от выбора из одинаково плохих возможностей и называет соответствующую букву стертой

(кликните для просмотра скана)

(мы ее обозначим через В одних случаях мы будем допускать стирание, а в других нет. Если стирания не допускаются, то навяжем демодулятору решение 0. Последний символ в любом случае демодулируется правильно, так что принятая последовательность символов будет иметь вид или 141303, в зависимости от того, допустимы или нет стирания.

Для построения линейных кодов для недвоичных каналов в множестве входных символов полезно ввести арифметическую структуру. Если число символов входного алфавита есть степень простого числа то в качестве такой структуры может быть взята арифметика поля Как и в двоичном случае, переданные и полученные последовательности можно рассматривать как векторы над этим полем. Разность между полученной и переданной последовательностями есть вектор шума. В предыдущем примере переданная последовательность над имеет вид 140343, а принятая последовательность — или 141303, и разность этих векторов равна или 001010. Как и в двоичном случае, линейный код может быть определен как множество векторов, транспонированные к которым лежат в нуль-пространстве проверочной матрицы Полученное слово имеет синдром равный синдрому вектора ошибок, т. е. Множество кодовых слов образует аддитивную группу, множество полученных слов с одним и тем же синдромом образует смежный класс по этой подгруппе. Для фиксированного полученного слова множество возможных векторов ошибок образует смежный класс, содержащий это слово. Задача декодера может быть, таким образом, сформулирована так: по заданному синдрому полученного слова найти наиболее вероятный вектор шума, лежащий в смежном классе слов с этим синдромом.