Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.5. ПримерыВ качестве непосредственной иллюстрации рассмотренных теорем исследуем разложение двоичного многочлена
Это разложение справедливо над любым полем. Над двоичным полем (полем из двух элементов)
Множитель
Другой корень этого квадратного многочлена, а именно
Здесь
и
Четыре элемента поля могут быть представлены как четыре двоичных многочлена от В качестве более поучительного примера рассмотрим разложение двоичного многочлена
Это разложение справедливо над любым полем. Читателю предлагается проверить, что
В двоичном поле многочлен
так что
Более простой метод определения двух неприводимых делителей многочлена
Расширяя двоичное поле присоединением (см. скан)
Читатель должен отметить, что Очевидно, что Таблица 4.1 (см. скан) Для последующего разложения необходимо дальнейшее расширение поля до
Так как а — один из восьми корней многочлена Так как а — корень неприводимого над представить в виде многочлена от а над Соответствующие строчки столбца 3 могут быть получены с помощью представленного на рис. 4.1 регистра с обратной связью, если позаботиться о том, чтобы правильно выполнялись все арифметические операции поля Используя столбец 3, можно отождествить остальные элементы поля
Рис. 4.1. Регистр сдвига с обратной связью над Так как а и В столбце 6 для каждого из 16 элементов выписаны минимальные двоичные многочлены. Они получаются непосредственно из разложения неприводимых двоичных многочленов четвертой степени на неприводимые квадратные многочлены над Так как а является корнем неприводимого двоичного многочлена четвертой степени В большинстве случаев наиболее удобными являются представления, приведенные в столбцах 1 и 7. В машинной обработке используется почти исключительно представление, записанное в столбце 7. Однако при ручных вычислениях полезными оказываются оба представления. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более удобно выполнять в терминах представления, заданного в столбце 7. В столбце 8 приведена двоичная запись логарифмов ненулевых элементов по основанию а. Такая запись имеет несколько преимуществ. Например, двоичный логарифм мультипликативного обратного к элементу поля получается путем поэлементного дополнения двоичного логарифма самого элемента. Единственной особенностью является появление последовательности единиц в качестве дополнения к нулевой последовательности, представляющей двоичный логарифм единицы. Такая единичная последовательность должна также пониматься как двоичный логарифм единицы. Нулевая и единичная последовательности являются эквивалентными представлениями одного и того же числа, подобно тому как
Рис. 4.2. Регистр сдвига с обратной связью для умножения на а. Другим более важным преимуществом двоичной записи логарифмов является то, что двоичный логарифм каждого из двоично сопряженных элементов может быть получен с помощью циклического сдвига двоичного логарифма самого элемента. Например, двоичные логарифмы сопряженных элементов В полях характеристики Выбор примитивного элемента а, через который выражаются все остальные элементы поля, является несколько произвольным. В столбце 9 приведена реализация, связанная с выбором другого корня Четыре элемента поля, используемые в качестве базиса представления, выписанного в столбце И, а именно В столбце 12 сделана попытка представления элементов поля в виде степеней непримитивного элемента у, являющегося корнем многочлена В столбце 15 выписано представление элементов поля в виде двоичных многочленов от у степени Интересно остановиться на изображенном на рис. 4.3 регистре сдвигов с обратной связью, предназначенном для умножения элементов поля на у в данном представлении.
Рис. 4.3. Регистр сдвига с обратной связью для умножения на При любом начальном состоянии регистр проходит через каждое из остальных четырех состояний, входящих в смежный класс начального состояния, и затем возвращается в исходное положение. В столбцах 16 и 17 выписаны следы элементов поля
Так как Как будет видно из теоремы 6.69, след дает информацию о решении в данном поле некоторых квадратных и кубических уравнений.
|
1 |
Оглавление
|