Глава 4. Структура конечных полей

4.1. Определения

Возможны различные эквивалентные определения поля. Мы предпочтем несколько избыточное, но менее формальное определение.

4.11. Определение поля. Полем называется множество, в котором однозначно определен результат сложения и умножения (обозначения и соответственно) любых двух элементов. Поле содержит 0 и 1. Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны, а умножение, как обычно, дистрибутивно относительно сложения: и Каждый элемент и имеет единственный противоположный элемент — и, такой, что и Каждый ненулевой элемент и имеет единственный обратный элемент такой, что и Для каждого элемента и выполняются равенства

Эти свойства поля не все независимы; некоторые из них могут быть выведены из других. Читатель, интересующийся минимизацией числа аксиом, определяющих поле, может найти дальнейшее обсуждение этого вопроса в книгах Биркгофа и Маклейна [1965] или Ван-дер-Вардена [1931]. Для наших целей более удобно постулировать все перечисленные выше свойства.

Порядком поля называется число его элементов. Если порядок поля бесконечен, то оно называется бесконечным; если порядок поля конечен, то оно называется конечным. Множества рациональных чисел, действительных чисел и комплексных чисел дают примеры бесконечных полей. Если простое число, то классы вычетов по модулю образуют конечное поле порядка Если неприводимый многочлен степени с коэффициентами из поля классов вычетов по модулю то классы вычетов по модулю образуют конечное поле порядка . В разд. 4.4 мы покажем, что все конечные поля по существу являются полями этого типа.