4.2. Мультипликативная структура конечных полей

Если поле содержит элемент а, то оно должно содержать и все степени Так как поле содержит мультипликативный обратный каждого ненулевого элемента, то ему принадлежат также Если не все степени а различны, то существуют такие два числа тип, что или Наименьшее из положительных чисел для которых называется порядком элемента порядоком равен то элементы различны. Действительно, если где то хотя что противоречит определению порядка. Таким образом, порядок элемента равен числу различных степеней этого элемента Если элемент имеет бесконечное число различных-степеней, то мы говорим, что его порядок бесконечен. Порядок элемента 0 не определен. Поле одновременно может содержать элементы конечного и бесконечного порядка, например, поле действительных чисел содержит два элемента конечного порядка: (порядка 1) и —1 (порядка 2). Все остальные ненулевые действительные числа имеют бесконечный порядок. В поле комплексных чисел элементы конечного порядка исчерпываются числами где кип — целые числа, Таким образом, в некоторых полях только особые элементы имеют конечный порядок. В конечном поле, однако, каждый элемент имеет только конечное число различных степеней. Следовательно, каждый ненулевой элемент конечного поля имеет конечный порядок.

Если а — элемент порядка то легко найти порядок Согласно алгоритму деления, где Тогда азпаь Следовательно, тогда и только тогда, когда Это доказывает теорему 4.21.

4.21. Теорема. Если а — элемент порядка то тогда и только тогда, когда кратно

Покажем далее, что если два элемента поля имеют взаимно простые порядки, то порядок их произведения равен произведению порядков сомножителей.

4.22. Теорема. Если порядок элемента равен а порядок элемента равен и то порядок равен

Доказательство. Если то

Так как и то к кратно так как и то к кратно Следовательно, тогда и только тогда, когда к кратно . С другой стороны, если к кратно то

Найдем теперь порядок элемента если а — элемент порядка Если наибольший общий делитель то так что порядок делит число . С другой стороны, если акт то кратно Так как число взаимно просто с к, то оно должно быть делителем Это доказывает следующую теорему:

4.23. Теорема. Если порядок элемента а равен то порядок элемента равен

Будем говорить, что элемент а является примитивным корнем степени из единицы, если порядок а равен . В поле порядка элемент а называется примитивным элементом поля, если порядок а равен

4.24. Теорема. Конечное поле порядка содержит примитивный элемент (порядка степени которого пробегают все ненулевые элементы поля.

Доказательство. Пусть максимальный порядок ненулевых элементов поля, и пусть а — элемент порядка Так как различных степеней а отличны от нуля, то Пусть некоторый другой ненулевой элемент поля, и пусть порядок Если то имеет порядок взаимно простой с так что имеет порядок превосходящий Так как это противоречит выбору то заключаем, что Следовательно, каждый ненулевой элемент поля является корнем многочлена Так как степень этого многочлена равна то в соответствии с теоремой 2.15 он имеет в данном поле не более корней. Следовательно, Так как мы уже показали, что то

Эта теорема имеет следствие, обобщающее теорему Ферма:

4.25. Теорема. Каждый элемент поля порядка удовлетворяет уравнению

Доказательство. Все ненулевые элементы поля удовлетворяют условию нуль поля удовлетворяет уравнению Значит, все элементы поля удовлетворяют уравнению