5.2. Переупорядочение столбцов проверочной матрицы двоичных БЧХ-кодов, исправляющих двойные ошибки

Упорядочение позиций кода в соответствии со степенями примитивного элемента поля обладает многими преимуществами и в случае БЧХ-кодов с исправлением многих ошибок. Для двоичных кодов, исправляющих двойные ошибки, вторая группа из строк проверочной матрицы строится таким образом, что каждый столбец является кубом локатора, записанного в этом столбце в первых строках матрицы. Таким образом, матрица содержит столбцов, строк и имеет вид

Например, если и а — корень многочлена , то

Синдром содержит координат. Первые координат дают сумму локаторов ошибочных позиций; вторые координат синдрома дают сумму кубов локаторов искаженных позиций.

Если принятый вектор представить многочленом то и Принятый вектор позволяет вычислить каждую из этих сумм в отдельности. Для вычисления надо разделить на минимальный многочлен элемента а и найти остаток от деления Тогда имеет место равенство Для вычисления надо разделить на минимальный многочлен элемента найти остаток от деления и вычислить затем . В общем случае вычисление по может потребовать просчета не более чем проверочных соотношений с не более чем входами.

В рассматриваемом примере минимальным многочленом для является Многочлены могут быть получены с помощью схемы, изображенной на рис. 5.6. Получаемые декодером из канала связи позиции подаются в -позицион-пый буферный регистр, изображенный на рис. 5.6 горизонтально вверху. После приема всех 15 позиций блока в буфере оказывается записанным многочлен представляющий принятое слово. Одновременно с буферным регистром принятое слово поступает еще в два регистра, обратные связи которых подобраны в соответствии с минимальными многочленами для а и Начальное состояние обоих регистров является нулевым. При вводе позиций из канала эти регистры осуществляют деление соответственно на минимальный многочлен элемента а и минимальный многочлен элемента При окончании приема входного блока из 15 позиций в регистрах содержатся соответственно остатки

Степенные суммы вычисляются по остаткам путем «матричного» умножения, изображенного на рисунке с помощью вертикальных регистров и вентильных схем. Матрица, используемая для получения по оказывается единичной; поэтому просто совпадает с Однако вычисление требует более сложной схемы. Связи для этих матриц умножения легко могут быть получены из первых столбцов расширенной матрицы которые для рассматриваемого примера имеют вид

(кликните для просмотра скана)

Так как элемент сопряжен с а, то он имеет тот же минимальный многочлен и, следовательно, может быть вычислен по тому же остатку, что и Поэтому в общем случае можно не включать в проверочную матрицу, хотя это и не принесет вреда. Расширенная проверочная матрица (включающая в себя, помимо самих локаторов и их кубов, квадраты локаторов) имеет больше строк, чем обычная проверочная матрица. Однако дополнительные строки являются линейными комбинациями первых строк, и ранг расширенной проверочной матрицы равен рангу обычной проверочной матрицы. Проверочная матрица может быть расширена еще больше, если добавить сопряженные с т. е. или Суммы могут быть вычислены по остатку по остатку

Кодирование начинается с задания информационных символов После этого кодер должен найти такие символы результирующий многочлен удовлетворял уравнениям Первое из этих условий выполняется тогда и только тогда, когда кратен минимальному многочлену элемента а, а второе — тогда и только тогда, когда кратен минимальному многочлену элемента Так как многочлен кратен обоим этим неприводимым многочленам, то он кратен и их произведению, которое мы обозначим через Выбрав для исправляющего двойные ошибки двоичного БЧХ-кода с блоковой длиной 15 в качестве а корень многочлена получим, что минимальным многочленом для является Кодирующее устройство может быть построено по тому же самому принципу, что и кодер для кодов, исправляющих одиночные ошибки. На рис. 5.7 приведена схема кодера для рассматриваемого частного случая.

Семь информационных позиций посылаются одновременно в канал и регистр сдвига. После этого ключи возвращаются в нижнее положение. Восемь проверочных позиций посылаются в канал из регистра сдвига, после чего в нем устанавливаются нули. Затем к началу передачи нового блока ключи опять переводятся в верхнее положение.

Для данного кода существует и другой кодер, реализация которого основана на регистре сдвига только с семью ячейками. Для понимания принципа действия этого кодера полезно обратиться к изучению циклических кодов.

Рис. 5.7. Кодер для циклического кода, основанный на порождающем многочлене.