12.7. Истинные расстояния
Если увеличивать конструктивное расстояние, то число информационных символов кода либо остается постоянным, либо уменьшается. Поэтому справедливо утверждение:
12.71. Теорема
равно максимальному числу информационных символов во всех ВЧХ-кодах с конструктивным расстоянием
Будем отличать величину I от величины I, определенной следующим образом:
12.72. Определение.
максимальное число информационных символов для всех
-ичных БЧХ-кодов с истинным расстоянием
Очевидно,
Например, есть три двоичных БЧХ-кода с блоковой длиной 23 и соответственно с 23, 12 и 1 информационными символами. Читателю нетрудно проверить, что
В разд. 15 2 будет показано, что
Следовательно,
.
Случаев, когда
известно сравнительно немного. Казами,
и Питерсон [1966] высказали гипотезу о том, что
для всех
и доказали ее для некоторых частных случаев. Хотя в общем случае эта гипотеза остается гипотезой, можно получить некоторые результаты об асимптотическом поведении функции
отталкиваясь от известных частных случаев, когда
Удобно было бы положить
но, к сожалению, у нас нет никакой уверенности в существовании этого предела. Поэтому для того, чтобы иметь возможность
рассмотреть асимптотическое поведение лучших БЧХ-кодов, используем следующее определение:
Очевидно, что
Подобно
функция
невозрастающая функция от и, так как при
кодовые слова
-ичного БЧХ-кода с расстоянием d образуют подмножество кодовых слов
-ичного БЧХ-кода с расстоянием
Мы докажем, что
для некоторых значений и, указанных в теореме 12.74.
12.74. Теорема. Если и
то
Доказательство. Пусть и
Согласно следствию
11.63, для любого
к
Следовательно,
так что в силу непрерывности функции
Это показывает, что
если
. Используя теоремы 11.66 и 13.12, можно также доказать, что
для различных других значений и. Представляется верной гипотеза о том, что
для всех и. Эта гипотеза является ослаблением предположения Питерсона о том, что
для всех
Согласно равенству (12.73), примитивный БЧХ-код с большой блоковой длиной
и конструктивным расстоянием
имеет приблизительно
информационных символов. Скорость передачи для этого кода приблизительно равна Так как
для всех
то при фиксированном
скорость передачи для длинных БЧХ-кодов стремится к 0 при
Аналогично для длинных примитивных БЧХ-кодов с истинным расстоянием
скорость передачи стремится к 0 как
Хотя функция
и не известна, согласно теореме
для всех
В гл. 13 будет показано, что «оптимальные» блоковые коды с большой блоковой длиной асимптотически намного лучше, чем