12.7. Истинные расстояния

Если увеличивать конструктивное расстояние, то число информационных символов кода либо остается постоянным, либо уменьшается. Поэтому справедливо утверждение:

12.71. Теорема равно максимальному числу информационных символов во всех ВЧХ-кодах с конструктивным расстоянием

Будем отличать величину I от величины I, определенной следующим образом:

12.72. Определение. максимальное число информационных символов для всех -ичных БЧХ-кодов с истинным расстоянием

Очевидно,

Например, есть три двоичных БЧХ-кода с блоковой длиной 23 и соответственно с 23, 12 и 1 информационными символами. Читателю нетрудно проверить, что

В разд. 15 2 будет показано, что

Следовательно, .

Случаев, когда известно сравнительно немного. Казами, и Питерсон [1966] высказали гипотезу о том, что для всех и доказали ее для некоторых частных случаев. Хотя в общем случае эта гипотеза остается гипотезой, можно получить некоторые результаты об асимптотическом поведении функции отталкиваясь от известных частных случаев, когда

Удобно было бы положить

но, к сожалению, у нас нет никакой уверенности в существовании этого предела. Поэтому для того, чтобы иметь возможность

рассмотреть асимптотическое поведение лучших БЧХ-кодов, используем следующее определение:

Очевидно, что Подобно функция невозрастающая функция от и, так как при кодовые слова -ичного БЧХ-кода с расстоянием d образуют подмножество кодовых слов -ичного БЧХ-кода с расстоянием

Мы докажем, что для некоторых значений и, указанных в теореме 12.74.

12.74. Теорема. Если и то

Доказательство. Пусть и Согласно следствию

11.63, для любого к

Следовательно,

так что в силу непрерывности функции

Это показывает, что если . Используя теоремы 11.66 и 13.12, можно также доказать, что для различных других значений и. Представляется верной гипотеза о том, что для всех и. Эта гипотеза является ослаблением предположения Питерсона о том, что для всех

Согласно равенству (12.73), примитивный БЧХ-код с большой блоковой длиной и конструктивным расстоянием имеет приблизительно информационных символов. Скорость передачи для этого кода приблизительно равна Так как для всех то при фиксированном скорость передачи для длинных БЧХ-кодов стремится к 0 при Аналогично для длинных примитивных БЧХ-кодов с истинным расстоянием скорость передачи стремится к 0 как Хотя функция и не известна, согласно теореме для всех

В гл. 13 будет показано, что «оптимальные» блоковые коды с большой блоковой длиной асимптотически намного лучше, чем

примитивные БЧХ-коды с большой блоковой длиной. Скорость лучших блоковых кодов с большой длиной и истинным расстоянием не зависит от Хотя соотношение между в общем случае не известно, эти величины могут быть описаны с помощью различных границ, которые будут выведены в гл. 13.

Задачи

(см. скан)