Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 13. Скорость передачи информации для оптимальных кодов13.1. Граница сферической упаковки Хэминга — Рао для больших скоростейКак метрика Хэмминга, так и метрика Ли определяют расстояния между точками в
а в метрике Ли
В любом случае можно определить Для метрики Ли аналогичная формула имеет значительно более сложный вид. Если расстояние между любыми двумя кодовыми словами
Неравенство (13.11) называется границей по объему или границей сферической упаковки. Это неравенство появилось в работе Рао [1947] по экспериментальным конструкциям. К кодам с исправлением ошибок его впервые применил Хэмминг [1950]. Одним из приложений границы сферической упаковки является теорема 13.12, согласно которой двоичный БЧХ-код с большой скоростью передачи не хуже любого другого кода с той же скоростью и той же блоковой длиной. 13.12. Теорема. Если
то любой код с блоковой длиной Доказательство. Мы утверждаем, что Единственной нетривиальной частью этого утверждения является неравенство
то
(согласно предположению теоремы 13.12). Следовательно, Иногда бывает полезной другая форма неравенства (13.11)
При фиксированном
где
Для вычисления этого предела необходимо получить асимптотически точную оценку величины V Одну из таких оценок дает лемма 13.16, которая является модификацией более общих границ Чернова [1952] и Феллера [1943]. 13.16. Лемма. Если
Эскиз доказательства. Для произвольного Мы утверждаем, что существуют такие значения
Если соотношение (13.161) выполняется, то
так что
Так как
и тогда
Значение
Отсюда
Подставив эти выражения в формулы леммы 13.16, получим
При этом уравнение (13.15) принимает вид
Рис. 13.1. Двоичный симметричный канал.
Рис. 13.2. Асимптотические границы корректирующей способности для двоичного симметричного канала без обратной связи. Если положить Используя аналогичные методы, можно получить асимптотические формулы для границы сферической упаковки в случае метрики Ли. Однако в этом случае вычисления и конечные результаты являются значительно более сложными, В некоторых приложениях желательно выразить границу (13.14) не через
Тогда соотношение (13.14) запишется в виде
где
|
1 |
Оглавление
|