Главная > Алгебраическая теория кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 10. Недвоичное обобщение Горенстейна-Цирлера БЧХ-кодов в случае метрики Хэмминга

10.1. Обобщенные БЧХ-коды и алгоритм их декодирования

Циклические коды над где степень произвольного простого числа, определяются точно так же, как и циклические коды над . В качестве порождающего многочлена выбираются некоторые делители многочлена над Кодовые слова исчерпываются всеми кратными порождающего многочлена, степень которых меньше, чем Как и в двоичном случае, порождающий многочлен -ичного БЧХ-кода, исправляющего ошибок, с блоковой длиной равен произведению различных минимальных многочленов элементов где а — примитивный корень степени из единицы над где — мультипликативный порядок числа Поле называется полем символов, полем локаторов.

Такое обобщение БЧХ-кодов на недвоичный случай впервые было предложено Горенстейном и Цирлером [1961]. Частный случай рассматривался ранее с другой точки зрения Ридом и Соломоном [1960].

Если кодер передает кодовое слово, символы которого совпадают с коэффициентами многочлена

а в канале к нему добавляется вектор шума, заданный многочленом

то декодер получает слово

Пусть — примитивный корень степени из единицы. Если корень многочлена то Если вектор ошибок содержит ошибку в позиции с локатором ошибку в позиции с локатором то Здесь называются локаторами ошибок, значениями ошибок, а — взвешенной степенной симметрической функцией.

Заметим, что БЧХ-код с исправлением ошибок строится таким образом, что являются корнями порождающего многочлена кода и, следовательно, корнями любого кодового многочлена. Таким образом, первым шагом процедуры декодирования БЧХ-кодов является вычисление суммы для

Для определения местоположения и значений ошибок полезно ввести в рассмотрение два многочлена. Первый из них, так называемый многочлен локаторов ошибок, определяется, тем, что его корни взаимны к локаторам ошибок:

Второй многочлен, так называемый многочлен значений ошибок, задается равенством

Заметим, что определения 10.11 и 10.12 в двоичном случае сводятся к определениям 7.21 и 7.22. В противоположность многочлену локаторов ошибок для негациклических кодов, рассмотренных в гл. 9, многочлен локаторов ошибок (10.11) не имеет кратных корней. Ностепень многочлена локаторов ошибок (10.11) равна числу ошибок в метрике Хэмминга, подобно тому, как степень многочлена локаторов ошибок в гл. 9 равна числу ошибок в метрике Ли и степень многочлена ошибок (7.21) равна числу ошибок в двоичном канале. Отметим также, что многочлен значений ошибок (10.12) зависит и от локаторов и от значений ошибок, в то время как многочлен локаторов ошибок (10.11) зависит только от локаторов ошибок.

Так как то можно определить производящую функцию отношения Ее коэффициенты задаются соотношением

где Значит,

Для БЧХ-кода, исправляющего ошибок, декодер вычисляет только Таким образом, известны только первые

коэффициентов производящей функции и декодер должен попытаться определить из ключевого уравнения

Декодер может решить это уравнение относительно многочленов и используя алгоритм 7.4. Это дает второй шаг процедуры декодирования.

После вычисления многочлена локаторов ошибок декодер может определить локаторы ошибок, находя взаимные корни Определение величин по заданным коэффициентам многочлена составляет третий шаг процедуры декодирования.

Найдя локаторы ошибок, декодер может вычислить значение многочлена в точке

Таким образом, на четвертом шаге процедуры декодирования декодер определяет ошибки в соответствии с формулой

Знак для обозначения взаимного многочлена не следует путать со знаком которым мы обозначили нечетную часть функции.

Подытожим описанную процедуру декодирования для недвоичных БЧХ-кодов в виде алгоритма 10.15.

10.15. Алгоритм декодирования.

10.151. Определить взвешенные степенные симметрические функции по формулам где остаток от деления полученного многочлена на минимальный многочлен элемента над

10.152. Составить ключевое уравнение (10.13) для найденной функции и решить его, согласно алгоритму 7.4, относительно многочленов

10.153. Используя процедуру Ченя определения корней степени из единицы над найти взаимные корни многочлена локаторов ошибок Это определит локаторы ошибок.

10.154. По формуле (10.14) найти значения ошибок.

1
Оглавление
email@scask.ru