14.7. Подкоды над подполями

14.71. Определение. Если код длины над где степень простого числа то подкод кода состоящий из слов, все координаты которых лежат в называется подкодом кода над подполем

Свойства.

14.72. Подкод линейного кода над подполем линеен.

14.73. Если код инвариантен относительно некоторой группы подстановок, то любой подкод над подполем также инвариантен относительно этой группы.

14.74. Пусть циклический код длины над с порождающим многочленом

где а — примитивный корень степени из единицы, множество вычетов по Тогда подкод кода над является циклическим кодом с порождающим многочленом

где тогда и только тогда, когда для некоторого целого

Доказательства. Пусть множество всех -мерных векторов над Тогда подкод кода над подполем определяется равенством

Следовательно, линейный код.

14.73. Пусть -такая перестановка координат, что Так как перестановка, то и так что и

14.74. Если линейный циклический код, то, применяя циклическую перестановку и учитывая свойства 14.72 и 14.73, получим, что — линейный циклический код. Пусть порождающие многочлены кодов заданы в виде (14.741) и (14.742). Покажем, что Так как то Так как то так что

Для того чтобы показать, что рассмотрим многочлен

Так как то так как то Следовательно, с Так как каждый корень многочлена есть корень то

Из (14.743) и (14.744) вытекает, что

Если через обозначить соответственно дополнения (т. е. то

Иными словами, корень проверочного многочлена подкода кода над подполем тогда и только тогда, когда множество всех корней проверочного многочлена кода

Один частный класс подкодов над подполями будет рассмотрен более подробно в разд. 15.5.