Свойства.
14.72. Подкод линейного кода над подполем линеен.
14.73. Если код
инвариантен относительно некоторой группы подстановок, то любой подкод над подполем также инвариантен относительно этой группы.
14.74. Пусть
циклический код длины
над
с порождающим многочленом
где а — примитивный корень
степени из единицы,
множество вычетов по
Тогда подкод кода
над
является циклическим кодом с порождающим многочленом
где
тогда и только тогда, когда
для некоторого целого
Доказательства. Пусть
множество всех
-мерных векторов над
Тогда подкод
кода
над подполем
определяется равенством
Следовательно,
линейный код.
14.73. Пусть
-такая перестановка координат, что
Так как
перестановка, то и
так что и
14.74. Если
линейный циклический код, то, применяя циклическую перестановку и учитывая свойства 14.72 и 14.73, получим, что
— линейный циклический код. Пусть порождающие многочлены кодов
заданы в виде (14.741) и (14.742). Покажем, что
Так как
то
Так как
то
так что
Для того чтобы показать, что
рассмотрим многочлен