равно числу целых чисел
кратных
и таких, что
для всех
, где число
теперь определяется условиями:
Так как между
или между
нет чисел, кратных
то последние два условия эквивалентны неравенствам
Так как
-ичное представление числа
есть циклический сдвиг
-ичного представления числа
то теорема 12.51 вытекает из теорем 12.38, 12.33 и 12.34.
Для пересчета
-ичных последовательностей длины
удовлетворяющих теореме 12.51, полезно ввести следующие обозначения:
12.52. Определение. Обозначим через
число
-ичных последовательностей длины
являющихся сцеплением субпоследовательностей для V, которым соответствуют числа, сравнимые с
Пусть
число субпоследовательностей для V, сравнимых с
При фиксированных
и V теорема 12.53 дает рекурсивное правило вычисления
для всех значений
при соответствующих значениях
Условимся, что все арифметические операции над верхним индексом чисел К выполняются по модулю
12.53. Теорема
Доказательство. При делении на
пустая последовательность длины 0 дает остаток 0. При
имеется
способов выбора такой последней субпоследовательности в сцеплении, что ее длина равна к, а остаток при делении на
равен х. Предшествующий ей
-мерный вектор является сцеплением субпоследовательностей для
Если это сцепление длины
к имеет остаток I, то сцепление длины
имеет остаток
который равен
тогда и только тогда, когда
12.54. Теорема. В предположениях теорем 12.51 и 12.53 и в обозначениях определения 12.52 имеет место равенство