многочлена
Мы уже рассматривали разложение
отделяющее нулевой элемент от ненулевых. Поставим теперь задачу разбиения множества ненулевых элементов поля на подмножества элементов одного и того же порядка с помощью разложения многочлена
Если поле содержит элемент а порядка
то элементы
являются корнями многочлена
степени
Согласно теореме 2.15, ни в каком поле многочлен степени
не может иметь более, чем
корней. Следовательно, в любом поле, содержащем примитивный корень
степени из единицы, справедлива следующая теорема о разложении:
4.31. Теорема.
Аналогично, если
то
являются корнями многочлена
Этот многочлен имеет степень
следовательно, не может иметь более d корней ни в одном поле. Значит, если порядок элемента а равен
делит
то среди степеней а содержатся все корни степени d из единицы. Более того, каждый элемент поля, порядок которого делит
должен быть степенью а, так как элемент порядка d является корнем
степени из единицы.
Порядок каждой степени элемента а делит
и каждый элемент поля, порядок которого делит
является степенью а. Это доказывает следующее разбиение степеней элемента а в соответствии с их порядками:
Многочлены, корни которых совпадают со всеми элементами поля порядка
называются круговыми многочленами и обозначаются через
Из этого определения и теоремы 4.31 как следствие сразу вытекает
4.32. Теорема.
Применение мультипликативной формы теоремы обращения Мёбиуса 3.42 дает
4.33. Теорема.
Используя свойства функции Мёбиуса, можно с помощью прост! операций выяснить многие свойства круговых многочленов.
4.34. Свойства круговых многочленов.
(см. скан)
Доказательства.
4.343. В силу свойства 4.31
Согласно свойству 4.342,
Следовательно, используя индукцию, получаем, что
4.345. Согласно свойствам 4.342 и 4.344,
4.346. Если порядок а равен
то и порядок
равен
Следовательно,
тогда и только тогда, когда
Таким образом,
имеют одинаковые корни. Степень обоих многочленов равна
и если
то оба многочлена нормированы. Следовательно,
и
Таким образом,
для всех
4.347. Так как условия теоремы друг друга исключают, то надо проверить только достаточность утверждения.
(c) Согласно свойству 4.342,