4.3. Круговые многочлены

Каждое разложение многочлена задает разбиение элементов конечного поля порядка Если то каждый элемент поля является или корнем многочлена или корнем

многочлена Мы уже рассматривали разложение отделяющее нулевой элемент от ненулевых. Поставим теперь задачу разбиения множества ненулевых элементов поля на подмножества элементов одного и того же порядка с помощью разложения многочлена Если поле содержит элемент а порядка то элементы являются корнями многочлена степени Согласно теореме 2.15, ни в каком поле многочлен степени не может иметь более, чем корней. Следовательно, в любом поле, содержащем примитивный корень степени из единицы, справедлива следующая теорема о разложении:

4.31. Теорема.

Аналогично, если то являются корнями многочлена Этот многочлен имеет степень следовательно, не может иметь более d корней ни в одном поле. Значит, если порядок элемента а равен делит то среди степеней а содержатся все корни степени d из единицы. Более того, каждый элемент поля, порядок которого делит должен быть степенью а, так как элемент порядка d является корнем степени из единицы.

Порядок каждой степени элемента а делит и каждый элемент поля, порядок которого делит является степенью а. Это доказывает следующее разбиение степеней элемента а в соответствии с их порядками:

Многочлены, корни которых совпадают со всеми элементами поля порядка называются круговыми многочленами и обозначаются через Из этого определения и теоремы 4.31 как следствие сразу вытекает

4.32. Теорема.

Применение мультипликативной формы теоремы обращения Мёбиуса 3.42 дает

4.33. Теорема.

Используя свойства функции Мёбиуса, можно с помощью прост! операций выяснить многие свойства круговых многочленов.

4.34. Свойства круговых многочленов.

(см. скан)

Доказательства.

4.343. В силу свойства 4.31

Согласно свойству 4.342,

Следовательно, используя индукцию, получаем, что

4.345. Согласно свойствам 4.342 и 4.344,

4.346. Если порядок а равен то и порядок равен Следовательно, тогда и только тогда, когда Таким образом, имеют одинаковые корни. Степень обоих многочленов равна и если то оба многочлена нормированы. Следовательно,

и

Таким образом, для всех

4.347. Так как условия теоремы друг друга исключают, то надо проверить только достаточность утверждения.

(c) Согласно свойству 4.342,

Если нечетно и то

Непосредственным следствием свойства 4.343 является

4.35. Теорема. Любое конечное поле порядка содержит точно примитивных элементов поля.

Используя свойство 4.343, можно сразу определить степень любого кругового многочлена. Если порядок а равен то порядок элемента равен тогда и только тогда, когда Следовательно, если а — элемент порядка то

Отсюда видно, - что функция Эйлера равна числу чисел, меньших и взаимно простых с

Перечисленные свойства круговых многочленов оказываются очень полезными для упрощения вычислений. На основании свойства 4.341 вычисления могут быть сведены к случаю, когда является произведением различных простых множителей. Для имеем

Вычисления по модулю позволяют с минимальными усилиями определить первую половину коэффициентов кругового многочлена. Вторая половина определяется затем согласно свойству 4.346 симметричным образом. Свойства 4.347 и 4.348 полезны для проверки результатов.

4.37. Пример. Определим