13.3. Границы d <= n+1-k
Как было показано в разд. 1.2, каждый линейный код с длиной
и размерностью к может быть задан с помощью проверочной матрицы с
столбцами и
к линейно независимыми строками. Если к этой матрице дописать k-1 дополнительных строк, представляющих собой
-мерные единичные векторы, то получится проверочная матрица некоторого подкода исходного кода. Этот линейный подкод ненулевой размерности состоит из тех кодовых слов, у которых в соответствующих k-1 позициях расположены нули. Так как ненулевые координаты в словах этого подкода расположены только в
позициях, то для кодового расстояния выполняется неравенство
Это неравенство сохраняется также и для исходного кода.
Рассмотрим теперь коды, для которых
Такие коды мы будем называть кодами с достижимым максималъ
расстоянием. Коды этого класса обладают и другими свойствами. Для любых заданных d позиций такой код должен содержать
кодовых слов веса
все ненулевые символы которых расположены в заданных d позициях. Размерность подкода, состоящего из этих слов, равна 1; размерность объемлющего подкода, состоящего из кодовых слов, содержащих в произвольных заданных
позициях нули
равна
Любой код, удовлетворяющий условию (13.32), имеет точно одно слово веса
содержащее символ 1 в произвольно заданной позиции, и ненулевые символы точно в
других позициях; он содержит точно
кодовых слов веса
имеющих символ 1 в произвольно заданной позиции и ненулевые символы в каждой из
наперед заданных позиций. Если бы какая-либо пара из этих к кодовых слов имела бы один и тот же ненулевой символ в одной и той же из
фиксированных позиций, то разность этих слов дала бы кодовое слово веса
Следовательно, к
Таким образом,