Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2. Находим множество вектор-строк, образующих нуль-подпространство матрицы
Для этого можно применить соответствующие операции над столбцами матрицы
описанные в разд. 2.5, 2.6. Каждая вектор-строка из нуль-подпространства матрицы
представима в виде многочлена
удовлетворяющего сравнению
наоборот, каждый многочлен
удовлетворяющий этому сравнению, является представлением вектор-строки из нуль-подпространства матрицы
3. Выбираем произвольный из многочленов
найденных на предыдущем шаге, и, используя алгоритм Евклида, определяем наибольший общий делитель многочленов
для всех
Тогда имеет место следующее разложение:
6.11. Теорема
Замечание. Если
скаляр, то это разложение принимает вид
Если же
многочлен ненулевой степени, то разложение (6.11) нетривиально. В общем случае это разложение является неполным, ибо н. о. д.
может быть разложимым.
Доказательство теоремы 6.11. По условию
делит
Следовательно,
делит также
. С другой стороны, н. о.
делит
Если
то многочлены
взаимно просты, так же как и
. Следовательно,
делит
Предполагая оба многочлена нормированными, приходим к выводу, что они равны, так как они делят друг друга.
6.12. Пример. Пусть
двоичный многочлен
, иначе,
Последовательные степени х имеют вид
матрицы
равна
то оно имеет базис, состоящий из
нормированных многочленов
Без потери общности можно считать, что
и что степени остальных
многочленов положительны.
Применяя алгоритм Евклида к
мы получим
разложение
Если это разложение содержит менее
множителей, то вычисляем н. о. д.
и каждого уже известного множителя многочлена
и т. д. Следующие соображения показывают, что этот процесс приводит в конце концов к разложению
в произведение степеней
неприводимых многочленов.
Пусть
некоторая
-матрица над
где
Тогда
невырожденна, так как если
для всех
то
] для всех
следовательно,
что противоречит линейной независимости
Так как в
столбце матрицы
стоят различные элементы, то, применяя к
алгоритм Евклида, получим разложение
на различные множители. Степени неприводимых многочленов
выделяются тогда и только тогда, когда
Так как
невырожденна, то для каждых
существует некоторое
такое, что
Следовательно, некоторый многочлен
выделяет степени любых двух неприводимых делителей
Степень произвольного неприводимого делителя может быть определена путем применения алгоритма Евклида к многочлену
и его производной.
Если
достаточно велико, то к этому алгоритму может быть применено несколько остроумных приемов, некоторые из которых обсуждаются во втором томе книги Кнута [1968].