Главная > Алгебраическая теория кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.2. Коды, исправляющие две ошибки

Рассмотрим теперь код с блоковой длиной 12 над исправляющий две ошибки в метрике Ли. Как показано в приложении В, ненулевые элементы поля могут быть записаны через степени корня а многочлена Следуя эвристическим рассуждениям Боуза — Чоудхури — Хоквингема, в качестве первых двух строк проверочной матрицы выберем положительные локаторы позиций, а в качестве вторых двух строк — кубы первых двух строк:

В качестве кодовых слов выбираются векторы, удовлетворяющие этим четырем проверочным соотношениям. К переданному кодовому слову прибавляется шум. Используя первые два проверочных уравнения, декодер получает сумму локаторов ошибок, а используя два нижних уравнения, он получает сумму кубов локаторов ошибок, Если произошло не более двух ошибок, то

Таким образом, код позволяет исправлять две ошибки. Для декодирования необходимо из проверочных уравнений вычислить и и затем выполнить необходимые для определения многочлена локаторов ошибок операции в поле Если взаимный корень этого многочлена то в позиции полученного слова произошла ошибка +1. Если -взаимный корень многочлена локаторов ошибок и то в позиции полученного слова произошла ошибка —1. Двойные ошибки в любой позиции кодового слова соответствуют взаимным корням многочлена локаторов ошибок кратности два. Для рассматриваемого кода, исправляющего двойные ошибки, квадратный многочлен локаторов ошибок

имеет кратные корни тогда и только тогда, когда

Это же условие вытекает из уравнений Аналогично, легко увидеть, что в случае одной единичной ошибки и ошибки отсутствуют только тогда, когда . У читателя может возникнуть вопрос, почему две нижние строки проверочной матрицы были построены в виде кубов двух первых строк, а не в виде их квадратов. Если вместо кубов взять квадраты, то нужные уравнения не получаются:

что можно привести к внешне более громоздкому (но более удобному для анализа) виду

Здесь соответствии с тем, в каком интервале лежит между или между Осложнение возникает потому, что Аналогичная трудность возникает при включении в проверочную матрицу любой четной степени локаторов. Хотя такой выбор и не обязательно должен быть плохим, однако он всегда приводит к уравнениям типа (9.23), которых мы предпочитаем избегать.

Сделанный нами выбор матрицы обладает еще одним интересным математическим свойством, которое мы сейчас опишем. Так как столбцы первых двух строк этой матрицы представляют собой соответствующие степени а, то кодовый многочлен степени

удовлетворяет этим проверочным соотношениям тогда и только тогда, когда Это возможно тогда и только тогда, когда многочлен кратен минимальному многочлену элемента а. Аналогично, кодовый многочлен удовлетворяет последним двум проверочным соотношениям тогда и только тогда, когда что возможно тогда и только тогда, когда кратен минимальному многочлену элемента Ясно, что многочлен степени представляет кодовое слово тогда и только тогда, когда кратен произведению Так как а — примитивный элемент поля то но при Так как и квадратные корни из единицы исчерпываются числами то очевидно, что Аналогично заключаем что для любого нечетного включая Таким образом, и минимальный многочлен элемента а, и минимальный многочлен элемента должны быть делителями многочлена Следовательно, если

кодовое слово, то кратен многочлену также кратен этому многочлену. По этой причине мы назовем этот код негациклическим.

1
Оглавление
email@scask.ru