8.2. Весовые функции

Как должен декодер выбирать наиболее вероятный из векторов ошибок с одним и тем же синдромом? В двоичном случае ответ сводится к выбору слова с минимальным весом, где вес слова определяется как число единиц среди его координат. В недвоичном случае, так же как и в двоичном, можно в качестве лидера смежного класса выбрать слово с минимальным весом. Однако в зависимости от используемой схемы модуляции вес слова можно определять многими различными способами. Мы рассмотрим два определения, принадлежащие Хэммингу [1950] и Ли [1958].

8.21. Определение. Весом Хэмминга слова называется сумма весов Хэмминга его координат, где

8.22. Определение. Весом Ли слова называется сумма весов Ли его координат, где

Вес Хэмминга и вес Ли могут быть определены и для тех алфавитов из букв, в которых не является степенью простого числа. Однако при выходе за пределы конечных полей появляются определенные трудности в построении циклических (и вводимых ниже негациклических) кодов. Для избежания этих трудностей мы будем рассматривать только алфавиты из букв, где простое.

В случае метрики Ли мы будем предполагать, что простое, так как вычеты по модулю образуют поле тогда и только тогда, когда простое.

Системы с ортогональной модуляцией хорошо описываются метрикой Хэмминга. В частности, можно показать, что если буквы алфавита модулируются в виде ортогональных сигналов, на которые в канале накладывается аддитивный белый гауссов шум, то все ошибочные переходы символов друг в друга равновероятны. Следовательно, вероятность вектора ошибок зависит только от числа его ненулевых координат и не зависит от конкретного значения этих ненулевых координат. Метрика Хэмминга хорошо позволяет выделить более вероятные ошибки, предполагая вероятными ошибки малого веса, а ошибки с большим весом — маловероятными.

Метрика Ли хорошо соответствует схемам с фазовой модуляцией. Если на фазокодированные сигналы накладывается аддитивный гауссов шум, то намного более вероятно, что шум переведет переданную букву в букву, близкую по фазе, чем в букву с сильно отличающейся фазой. Значения ±2 ненулевых координат в векторе ошибок значительно менее вероятны, чем значения ±1. Метрика Ли дает хорошее приближение к реальной ситуации; в общем случае она предполагает ошибки малого веса более вероятными.

В случае каналов с амплитудной модуляцией и аддитивным гауссовым шумом и метрика Хэмминга и метрика Ли обладают некоторыми очевидными недостатками. Вероятность перепутать наибольшую и наименьшую амплитуды значительно меньше, чем вероятность перепутать две соседние амплитуды, расположенные около середины алфавита. Однако, если число символов в алфавите велико, то метрика Ли дает приемлемое приближение. Описание с помощью метрики Хэмминга является более грубым.

Для некоторых каналов оказываются полезными совсем другие определения весовых функций. Однако мы сосредоточим наше внимание на метрике Хэмминга и метрике Ли.

При построении систем модуляции и демодуляции приходится рассматривать многие вопросы. Необходимо выбрать множество сигналов и правило демодуляции. В общем случае этот выбор существенно зависит от конкретных характеристик канала связи. При этом

приходится учитывать мощность шума, спектр шума, частотные ограничения на передатчик, ограничения на мощность передатчика и возможность межсимвольной интерференции. Этим задачам посвящено большое количество работ, но мы на них останавливаться не будем. Заинтересованный читатель может обратиться к книгам Давенпорта и Рута [1958] или книге Возенкрафта и Джекобса [1965]. Для понимания последующих глав этой книги абсолютно необходимым является лишь общее знакомство с этой областью. Мы полагаем, что модулятор, демодулятор и весовая функция (Хэмминга или Ли), заданы, и концентрируем свое внимание на задаче исправления ошибок (или ошибок и стираний) демодулятора с помощью подходящих способов кодирования и декодирования.

Задача

(см. скан)