Главная > Алгебраическая теория кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.3. Негациклические коды

9.31. Определение. Негациклическим кодом с блоковой длиной над простое нечетное число, называется множество кратных порождающего многочлена делящего многочлен над Отношение называется проверочным многочленом

Так как то корни многочлена совпадают с теми корнями многочлена которые не являются корнями многочлена Если а — примитивный корень многочлена то его нечетные степени суть корни многочлена а четные степени — корни многочлена

Отметим повторно, что корни многочлена являются нечетными степенями примитивного корня из единицы степени. Следовательно, как порождающий многочлен, так и проверочный многочлен негациклического кодасблоковойдлиной/гмогутбыть удобно описаны указанием их корней, являющихся нечетными степенями одного примитивного корня из единицы степени. Для кода, исправляющего двойные ошибки, с блоковой длиной 12 над описанного в предыдущем разделе, корни порождающего многочлена суть а сопряженные к ним над это

Остальные восемь нечетных степеней являются корнями проверочного многочлена.

Этот способ описания негациклических кодов обладает тем преимуществом, что сразу задает уравнения для определения локаторов ошибок. Если корень порождающего многочлена, то, вычисляя значение полученного многочлена при декодер сразу получает сумму степеней локаторов ошибок, Зная эти декодер должен далее определить взаимные корни многочлена локаторов ошибок задающие локаторы ошибок. Соотношения между величинами описываются тождествами Ньютона, к рассмотрению которых мы и переходим. Пусть где не обязательно различны. Тогда

Отсюда вытекает и тождество Ньютона для производящей функции:

В случае негациклических кодов все коэффициенты при четных степенях в производящей функции 5 первоначально не известны. Поэтому удобно исключить эти члены с помощью разбиения тождества Ньютона на две части.

Тождество Ньютона можно теперь записать в виде уравнения

которое распадается на два уравнения

и

Умножим первое уравнение на а и вычтем из него второе, умноженное на а. Тогда

Уравнение (9.33) может быть решено при достаточно разумных ограничениях. Основной результат содержится в теореме 9.34.

9.34. Теорема. Если среди корней порождающего многочлена негациклического кода над содержатся элементы где то этот код исправляет все ошибки, вес Ли которых

Замечания. Прежде чем доказывать эту теорему, приведем таблицу 9.1, в которой записаны параметры некоторых кодов, удовлетворяющих условиям теоремы. Большим и сравнительно малым


Таблица 9.1 (см. скан) Значения параметров некоторых негациклических кодов, описываемых теоремой 9.34

числам проверочных позиций обычно соответствуют примитивные коды с блоковой длиной вида Однако имеются также сравнительно хорошие непримитивные коды этого типа с другой блоковой длиной; эти коды в таблице отмечены единичкой.

Доказательство теоремы 9.34. Приводимое доказательство является конструктивным и задает эффективную процедуру декодирования.

Начнем с уравнения

Так как то можно разделить обе части равенства на

Вводя производящую функцию

получим, что

или

Хотя с первого взгляда это уравнение может показаться громоздким, на самом деле оно решается тривиальным образом, поскольку каждый коэффициент выражается через некоторые коэффициенты и ранее определенные коэффициенты:

Дополнительные трудности возникают при определении коэффициента так как при этом нужно выполнять деление на нуль поля Однако, согласно предположению теоремы, и при вычислении этого затруднения нет.

Так как нечетная функция от то можно ввести производящую функцию с помощью уравнения Очевидно, что Если коэффициенты известны, то это уравнение позволяет рекурсивным образом вычислить коэффициенты Так как то, введя многочлены

очевидно, получим

и

так что

Мы теперь утверждаем, что если произошло не более ошибок, то удовлетворяют дополнительным условиям

и являются взаимно простыми.

Последнее утверждение вытекает из того факта, что никакие два взаимных корня многочлена не дают в сумме нуля. Действительно, в этом случае не может иметь делителей положительной четной степени и, следовательно, , так же как и , взаимно просты.

Учитывая эти условия (9.35), можно решить уравнения (9.35) относительно с помощью алгоритма 7.4:

Подытожим процедуру декодирования в виде алгоритма:

9.36. Алгоритм декодирования негациклических кодов, описанных теоремой 9.34.

1. Вычислить при помощи уравнения

2. Вычислить при помощи уравнения

3. Используя алгоритм 7.4, найти

как решения уравнений

4. Положить

5. Используя процедуру Ченя, вычислить многочлены а для , где а — примитивный корень из единицы степени, соответствующие степени которого задают локаторы позиций кода. Если а то в позиции кода произошла положительная ошибка; если то в позиции кода произошла отрицательная ошибка. В любом из этих случаев кратность ошибки может быть определена с помощью производных от и . Если для

но

то кратность ошибки равна к. В этих уравнениях знаку минус соответствует положительная ошибка и наоборот.

Если требуется большая скорость вычислений и имеется достаточно много вычислительных регистров, то процедуру Ченя можно применять к каждому из многочленов

С другой стороны, если число вычислительных регистров недостаточно, а время вычисления не ограничено, то процедуру Ченя можно применять только к многочленам аист. Подходящее программирование позволяет вычислять производные только тогда, когда они необходимы, не прерывая процедуру Ченя для а

Хотя теорема 9.34 определяет достаточно мощный класс негациклических кодов с практически приемлемым алгоритмом декодирования, естественным является желание освободиться от ограничения поскольку возможна ситуация, когда кратность ошибки больше, чем Очевидное решение — использование кода, корни порождающего многочлена которого содержат другие подходящие нечетные степени элемента а. Если элементов оказалось недостаточно, то, возможно, помогут элементы ? К сожалению, эта гипотеза также не проходит. Причины этого будут ясны из теоремы 11.65.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru