10.4. Совместное декодирование стираний и ошибок

Во многих приложениях при демодуляции иногда предпочтительнее не делать принудительного выбора среди наиболее вероятных возможностей и демодулировать достаточно сомнительные полученные сигналы не как одну из букв входного алфавита, а как некоторую дополнительную букву, называемую стиранием. При этом дополнительно к определению локаторов и значений ошибок декодер должен также пытаться определить стертый символ. Таким образом, задачей декодера является исправление всех искажений двух типов: стираний, для которых локаторы известны, а величины искаженных символов не известны, и ошибок, для которых не известны ни локаторы, ни величины. При декодировании полезно ввести в рассмотрение три различных многочлена локаторов:

где

При декодировании в проверочных соотношениях стертым символам приписываются произвольные значения. Если корень порождающего многочлена, то затем в декодере определяются величины

Если локаторы стираний, то разности между выбранными значениями стертых символов с локаторами и передававшимися символами с локаторами если локаторы ошибок, то разности между полученными символами с локаторами и передававшимися символами с локаторами

Ключевое уравнение может быть записано в виде . В случае БЧХ-кодов общего типа, рассмотренных в разд. 10.3, ключевое уравнение выглядит так:

Здесь конструктивное расстояние БЧХ-кода общего типа с исправлением ошибок; величины известные взвешенные степенные симметрические функции от локаторов

искажений; известный многочлен локаторов стираний; К — неизвестный многочлен локаторов ошибок; неизвестный многочлен значений искажений.

Чтобы упростить ключевое уравнение, можно известные величины объединить с известным многочленом локаторов стираний и использовать величины введенные Форни [1965], которые определятся из уравнения

При этом к и определяются уравнением

Если произошло стираний и ошибок, то ?. Тогда

Так как левая часть делится на то правая часть также делится на Определим многочлен равенством

Подстановка (10.46) в предыдущее уравнение дает

Если произошло ошибок, то Если то эта система уравнений может быть решена с помощью алгоритма 10.48.

10.48. Алгоритм.

10.481. Вычислить взвешенные степенные симметрические функции от локаторов искажений; вычислить по формуле (10.41) многочлен локаторов стираний и определить

10.482. Из уравнения (10.45) определить производящую функцию

10.483. Используя алгоритм 7.4, определить многочлены и решения уравнения (10.47).

10.484. Используя процедуру Ченя, найти взаимные корни многочлена локаторов ошибок

10.485. Вычислить многочлен значений искажений по формуле

вытекающей непосредственно из уравнения (10.46).

10.486. Используя уравнение (10.32), определить величины всех искажений.

Алгоритм 10.48 позволяет исправлять любое сочетание из стираний и ошибок, если . В этом смысле ошибки вдвое вреднее стираний. Интуитивно этот факт можно объяснить тем, что с каждой ошибкой связаны два неизвестных (локатор и величина), а со стиранием — только одно неизвестное (величина). Однако эта интуитивная интерпретация неверна, поскольку критерий справедлив и в двоичном случае, где ошибка всегда имеет известную величину, равную 1.