11.4. Преобразования функции f(z)

Некоторые члены алгебраического уравнения от часто удается исключить с помощью подстановки вида где Обычно выбор подходящих элементов a, b, c и d осуществляется путем последовательности преобразований сдвига , перехода к обратному и умножения на скаляр Рассмотрим, например, общее уравнение пятой степени над полем характеристики 2

Обозначив оператор сдвига через А, получим

Полагая , можно исключить член четвертого порядка, а при можно исключить член второго порядка. Второй выбор представляется более плодотворным. Исключив член второго порядка, можно путем перехода к обратному исключить кубический член. Применяя к полученному уравнению операцию линейного сдвига, можно, далее, исключить либо член четвертого порядка, либо линейный член. Исключив член четвертого порядка и нормализовав затем линейный член с помощью подходящего скалярного множителя, исходное уравнение пятой степени можно привести к виду

или

Возникает вопрос, могут ли такие предварительные преобразования существенно упростить вычисления при определении наименьшего аффинного кратного и его корней. Так как приведенное уравнение пятой степени содержит меньше членов, чем исходное, то можно надеяться, что степень наименьшего аффинного кратного приведенного многочлена будет равна 8, а не 16. Но, к сожалению, с помощью непосредственных, хотя и громоздких вычислений можно показать, что это не так. Выбор других возможных форм редукции (исключение

квадратного и линейного членов, или членов четвертой и второй степени, или кубического и линейного, членов) также не приводит к многочленам, аффинные кратные которых имеют степень 8. Исключение члена четвертой степени позволяет упростить аффинное кратное, но, к сожалению, это упрощение приводит к исчезновению членов младшей, а не старшей степени. Обобщение этого факта дает следующая теорема:

11.41. Теорема. Если

— некоторый делитель аффинного многочлена над не кратно то корень многочлена

Замечание. Здесь где обратный к

Доказательство. Множество корней многочлена включает в себя аффинное пространство, натянутое на корни многочлена Так как то

Следовательно, корень

Когда степень многочлена не кратна может быть исключен с помощью подстановки При этом наименьшее аффинное кратное приведенного многочлена имеет корень 0, а степень его равна Так как для исключения используется очень простое преобразование, то не удивительно, что получается столь малое уменьшение степени.

С другой стороны, если степень многочлена кратна то никакое преобразование сдвига не может исключить Однако если удастся найти сдвиг, приводящий к исключению то дальнейшее использование перехода к обратному позволяет обратить в 0 коэффициент Успех этого преобразования гарантируется следующей теоремой:

11.42. Теорема. Если степень многочлена кратна то степень наименьшего аффинного кратного многочлена не превосходит

Доказательство. Если кратно то

Таким образом, аффинное пространство, натянутое на корни совпадает с аффинным пространством, натянутым на корни Размерность аффинного пространства, натянутого на произвольных элементов, не превосходит что и доказывает теорему.

В качестве примера использования этой теоремы рассмотрим уравнение четвертой степени общего вида над полем характеристики 2. С помощью подходящего сдвига можно сначала исключить линейный член уравнения, а затем с помощью перехода к обратному привести его к стандартному виду без кубического члена. Степень наименьшего аффинного кратного такого приведенного многочлена, согласно теореме 11.42, не превосходит Это подтверждается тем, что приведенный многочлен четвертой степени сам является аффинным.

В общем случае исключение линейного члена в произвольном многочлене четной степени d над полем характеристики 2 сводится к решению другого алгебраического уравнения степени Например, для исключения с помощью сдвига линейного члена в уравнении шестой степени

необходимо так выбрать величину А, чтобы

Если это уравнение имеет решение в основном поле, то с помощью операций сдвига и обращения можно получить приведенный многочлен шестой степени, степень аффинного кратного которого не превышает 16; если же это уравнение неразрешимо в основном поле, то приходится иметь дело с исходным многочленом шестой степени, аффинное кратное которого может иметь степень 32.