13.7. Граница Гилберта

Границы Хэмминга, Плоткина и Элайеса являются верхними границами для минимального расстояния произвольного блокового кода, линейного или нелинейного. Граница Гилберта задает нижнюю границу для кодового расстояния.

13.71. Теорема (Гилберт [1952]).

Если

то произвольный код с блоковой длиной минимальным расстоянием d и скоростью является собственным подкодом другого кода с тем же минимальным расстоянием.

Доказательство. Каждое из кодовых слов окружим сферой радиуса Объем каждой сферы равен а полный объем всех сфер — Если полный объем меньше, чем то существуют точки, не входящие ни в какую сферу. Расстояние каждой такой точки до произвольной кодовой точки так что без уменьшения минимального расстояния кода любая из этих точек может быть добавлена в качестве кодовой.

В соответствии с границей Гилберта, к коду с малой скоростью и минимальным расстоянием d можно прибавлять кодовые слова до тех пор, пока скорость не возрастет до Расстояние такого кода будет совпадать с расстоянием исходного кода. Однако, к сожалению, регулярная математическая структура исходного кода при таком расширении может нарушиться. Если к исходному коду применимы алгебраические методы декодирования, то они могут оказаться непригодными для увеличенного кода. Если исходный код — циклический, то расширенный код, вообще говоря, уже не циклический. В общем случае увеличенный код не является линейным, даже если исходный код — линейный. Однако если поступать более осторожно в соответствии с леммой 13.72 и теоремой 13.73, то последней неприятности можно избежать.

13.72. Лемма. Для каждого линейного кода, содержащего кодовых слов, можно построить расширенный линейный код из слов, который получается путем присоединения к исходному коду всех ненулевых скалярных кратных слов из некоторого смежного класса исходного кода.

Доказательство. Пусть множество слов исходного кода, смежный класс, его лидер. Каждое слово класса V имеет вид а каждое слово из расширенного кода

имеет вид или где скаляр. Так как то слово принадлежит расширенному коду тогда и только тогда, когда оно имеет вид Отсюда ясно, что расширенный код — также линейный. Он содержит слов, соответствующих возможным выборам возможным выборам в выражении

Теорема. Пусть либо степень простого числа и в метрике Хэмминга

либо степень нечетного простого числа и в метрике Ли

либо степень числа метрике Ли

Тогда каждый линейный код с расстоянием скоростью и блоковой длиной над является собственным подкодом расширенного линейного кода с тем же минимальным расстоянием.

Доказательство. Любой код со скоростью имеет лидеров смежных классов, а все пространство содержит точек и среди них только слов веса Следовательно, если в метрике Хэмминга то имеется лидер смежного класса с весом Вес всех скалярных (ненулевых) кратных слов этого смежного класса также Согласно лемме 13.72, исходный линейный код можно расширить, превратив этот смежный класс и его скалярные кратные в кодовые слова.

В метрике Ли смежный класс с лидером веса может содержать слова, вес скалярных кратных которых будет меньше, чем так что расширение кода надо производить определенным образом. Множество собственных смежных классов (исключается сам код) можно разбить на подмножества, каждое из которых содержит ненулевых скалярных кратных каждого из элементов. Элемент наименьшего веса в данном подмножестве можно выбрать в качестве лидера. Если нечетно, а и — лидер, то также может быть выбран в качестве лидера; в этом случае подмножество содержит два лидера. Если число лидеров превосходит число ненулевых слов с весом Ли то существует лидер веса Элементы подмножества, содержащего этот лидер, могут быть выбраны в качестве кодовых слов расширенного кода.

Для конечных значений Варшамов [1957] и Сакс [1958] доказали несколько более строгие варианты теорем 13.71 и 13.73.

Если минимальное расстояние исходного кода, то шары радиуса описанные вокруг кодовых точек, будут мало пересекаться, и учет этих пересечений позволяет улучшить границу. Однако ни одно из предложенных до сих пор улучшений не изменяет асимптотического поведения границы. Из теорем 13.71, 13.73, 13.75 и 13.18 вытекает

13.74. Теорема. Над существуют линейные коды с произвольно большой блоковой длиной скоростью и минимальным расстоянием которые удовлетворяют соотношению

Асимптотическая форма границы Гилберта для двоичных кодов изображена на рис. 13.2.

Не известно, существуют ли циклические коды с произвольно большой длиной, удовлетворяющие соотношению теоремы 13.74.

С практической точки зрения теорема 13.73 не дает легкого способа построения хороших кодов. Хотя для данного линейного кода может быть известно, что существуют смежные классы с большим, чем кодовое расстояние, весом, однако какие-либо легкие способы отыскания этих смежных классов не известны. Числа же кодовых слов и смежных классов при больших блоковых длинах и умеренных скоростях столь велики, что полный перебор невозможен.