Главная > Алгебраическая теория кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13.7. Граница Гилберта

Границы Хэмминга, Плоткина и Элайеса являются верхними границами для минимального расстояния произвольного блокового кода, линейного или нелинейного. Граница Гилберта задает нижнюю границу для кодового расстояния.

13.71. Теорема (Гилберт [1952]).

Если

то произвольный код с блоковой длиной минимальным расстоянием d и скоростью является собственным подкодом другого кода с тем же минимальным расстоянием.

Доказательство. Каждое из кодовых слов окружим сферой радиуса Объем каждой сферы равен а полный объем всех сфер — Если полный объем меньше, чем то существуют точки, не входящие ни в какую сферу. Расстояние каждой такой точки до произвольной кодовой точки так что без уменьшения минимального расстояния кода любая из этих точек может быть добавлена в качестве кодовой.

В соответствии с границей Гилберта, к коду с малой скоростью и минимальным расстоянием d можно прибавлять кодовые слова до тех пор, пока скорость не возрастет до Расстояние такого кода будет совпадать с расстоянием исходного кода. Однако, к сожалению, регулярная математическая структура исходного кода при таком расширении может нарушиться. Если к исходному коду применимы алгебраические методы декодирования, то они могут оказаться непригодными для увеличенного кода. Если исходный код — циклический, то расширенный код, вообще говоря, уже не циклический. В общем случае увеличенный код не является линейным, даже если исходный код — линейный. Однако если поступать более осторожно в соответствии с леммой 13.72 и теоремой 13.73, то последней неприятности можно избежать.

13.72. Лемма. Для каждого линейного кода, содержащего кодовых слов, можно построить расширенный линейный код из слов, который получается путем присоединения к исходному коду всех ненулевых скалярных кратных слов из некоторого смежного класса исходного кода.

Доказательство. Пусть множество слов исходного кода, смежный класс, его лидер. Каждое слово класса V имеет вид а каждое слово из расширенного кода

имеет вид или где скаляр. Так как то слово принадлежит расширенному коду тогда и только тогда, когда оно имеет вид Отсюда ясно, что расширенный код — также линейный. Он содержит слов, соответствующих возможным выборам возможным выборам в выражении

Теорема. Пусть либо степень простого числа и в метрике Хэмминга

либо степень нечетного простого числа и в метрике Ли

либо степень числа метрике Ли

Тогда каждый линейный код с расстоянием скоростью и блоковой длиной над является собственным подкодом расширенного линейного кода с тем же минимальным расстоянием.

Доказательство. Любой код со скоростью имеет лидеров смежных классов, а все пространство содержит точек и среди них только слов веса Следовательно, если в метрике Хэмминга то имеется лидер смежного класса с весом Вес всех скалярных (ненулевых) кратных слов этого смежного класса также Согласно лемме 13.72, исходный линейный код можно расширить, превратив этот смежный класс и его скалярные кратные в кодовые слова.

В метрике Ли смежный класс с лидером веса может содержать слова, вес скалярных кратных которых будет меньше, чем так что расширение кода надо производить определенным образом. Множество собственных смежных классов (исключается сам код) можно разбить на подмножества, каждое из которых содержит ненулевых скалярных кратных каждого из элементов. Элемент наименьшего веса в данном подмножестве можно выбрать в качестве лидера. Если нечетно, а и — лидер, то также может быть выбран в качестве лидера; в этом случае подмножество содержит два лидера. Если число лидеров превосходит число ненулевых слов с весом Ли то существует лидер веса Элементы подмножества, содержащего этот лидер, могут быть выбраны в качестве кодовых слов расширенного кода.

Для конечных значений Варшамов [1957] и Сакс [1958] доказали несколько более строгие варианты теорем 13.71 и 13.73.

Если минимальное расстояние исходного кода, то шары радиуса описанные вокруг кодовых точек, будут мало пересекаться, и учет этих пересечений позволяет улучшить границу. Однако ни одно из предложенных до сих пор улучшений не изменяет асимптотического поведения границы. Из теорем 13.71, 13.73, 13.75 и 13.18 вытекает

13.74. Теорема. Над существуют линейные коды с произвольно большой блоковой длиной скоростью и минимальным расстоянием которые удовлетворяют соотношению

Асимптотическая форма границы Гилберта для двоичных кодов изображена на рис. 13.2.

Не известно, существуют ли циклические коды с произвольно большой длиной, удовлетворяющие соотношению теоремы 13.74.

С практической точки зрения теорема 13.73 не дает легкого способа построения хороших кодов. Хотя для данного линейного кода может быть известно, что существуют смежные классы с большим, чем кодовое расстояние, весом, однако какие-либо легкие способы отыскания этих смежных классов не известны. Числа же кодовых слов и смежных классов при больших блоковых длинах и умеренных скоростях столь велики, что полный перебор невозможен.

1
Оглавление
email@scask.ru