11.5. Подсчет корней

После вычисления наименьшего аффинного кратного многочлена и определения в его корней остается задача определить, какие из этих корней многочлена являются корнями многочлена . В общем случае нет специальных правил выбора, кроме поиска среди заданных корней. Однако можно высказать некоторые общие положения относительно числа корней многочлена в поле учитывающие только число корней многочлена в поле и общее число корней многочлена Пусть, например, такой многочлен пятой степени над полем характеристики 2, что степень его наименьшего аффинного кратного равна

16, а 8 корней многочлена лежат в основном поле. Сколько среди них корней многочлена Можно предположить, что это число принимает любые значения между 0 и 5. Однако, согласно следующей теореме, возможными числами являются только 1 и 3.

11.51. Теорема о числе корней. Пусть многочлен без кратных корней над полем характеристики Пусть число корней многочлена лежащих вне наименьшее аффинное кратное многочлена

Если 0 — корень то . В этом случае степень многочлена и степени всех его неприводимых делителей кратны

Если число различных корней многочлена в поле положительно, то оно равно Число всех корней многочлена равно

Если , то

Если , то

Если то числа не взаимно просты.

Если то либо имеет по меньшей мере один нетривиальный делитель либо может быть представлено в виде где положительные целые числа, а каждое из чисел не взаимно просто с

Доказательство. Если корни не лежат в то, согласно теореме 11.41, степень каждого делителя многочлена над кратна . С другой стороны, если корень многочлена то с помощью сдвига можно перевести в . Эта операция переводит корни в в корни в этом же поле, а корни вне поля в корни, также не лежащие в этом поле. Достоинство операции сдвига состоит в том, что она преобразует аффинное пространство, натянутое на корни многочлена в линейное пространство, натянутое на корни многочлена .

Корни многочлена образуют линейное пространство над следовательно, число таких корней равно Обозначим через базис этого пространства. Множество всех корней многочлена (включая и те, которые лежат в расширении поля также образует векторное пространство над Множество линейно независимых элементов может быть дополнено до базиса пространства всех корней путем добавления базисных векторов Без потери общности можно полагать, что векторы образуют подмножество множества корней многочлена . Пространство, натянутое на векторы совпадает с пространством, натянутым на корни

многочлена где Ясно, что если то Если то и пространство корней порождается также множеством Так как то

Таким образом, пространство, натянутое на корни многочлена , имеет базис, содержащий не более элементов, лежащих вне Следовательно, или, как и утверждалось,

Если то каждый из элементов представим в виде где Переходя к сопряженным, получим а это равно тогда и только тогда, когда равно Таким образом, число элементов, сопряженных с данным корнем, равно числу сопряженных с у. Так как то Переходя к сопряженным, получаем, что и, и в общем случае Если то тогда и только тогда, когда кратно В этом случае у имеет точно сопряженных элементов. Если то тогда и только тогда, когда Так как то и число элементов, сопряженных с у, делит число

Предположим теперь, что и рассмотрим сначала случай, когда Обозначим через число сопряженных с а через число сопряженных с элементов. Каждый корень многочлена , не лежащий в представим в виде

так что число элементов, сопряженных с равно если равно если и равно наименьшему общему кратному чисел если О, и С, отличны от нуля. Ясно, что представимо в виде для некоторых положительных чисел Из предыдущей части доказательства (для видно, что каждое из чисел не взаимно просто с

Если не существует элементов таких, что то пространство, натянутое на совпадает с пространством, натянутым на Аналогично, если не существует элементов

и таких, что то можно выбрать в качестве базиса пространства корней многочлена . В любом случае можно найти такой элемент и, что корни многочлена не лежащие в могут быть записаны в виде

Следовательно, каждый корень многочлена , лежащий вне имеет столько же сопряженных, сколько и элемент Для каждого

Пусть к обозначает число, для которого Для 2 выполняются равенства

Возводя каждое из этих равенств в степень получаем, что

для всех Если для некоторых то

так что

а это противоречит предположению о том, что Таким образом, для Элементы выбираются среди ненулевых элементов поля так что . Так как число сопряженных с каждым корнем, лежащим вне кратно к, то число также кратно к.

Можно несколько усилить эту теорему, когда так как не все значения к возможны. Тщательная проверка показала, что если или 5, то все значения к допустимы, но при значение исключается. Эта ситуация, однако, не исключает равенств так как возможно при

Если то на нельзя наложить никаких теоретико-числовых ограничений. Как было видно при доказательстве теоремы 11.39, над полем для каждой степени 2 существует много многочленов с линейно независимыми сопряженными элементами, т. е.

для любой последовательности Отсюда вытекает, что

для любой последовательности кроме случая, когда все равны.

Таким образом, когда то если многочлен имеет неприводимый делитель четвертой степени с линейно независимыми корнями, и если многочлен имеет неприводимый делитель четвертой степени с линейно независимыми корнями

и неприводимый квадратный делитель, корнями которого являются Если то и можно найти корней многочлена среди корней В неприводимых квадратных многочленов и С неприводимых кубических многочленов.

Относительно легко определить вероятность того, что все корни случайно выбранного аффинного многочлена будут лежать в основном поле. Число аффинных многочленов любой заданной степени в точности совпадает с числом способов выбора их коэффициентов. Число многочленов, все корни которых лежат в основном поле, описывается следующей теоремой, известной еще Ландсбергу [18931.

11.52. Теорема. Число к-мерных подпространств поля над задается формулой

Число к-мерных аффинных подпространств поля над задается формулой

Доказательство. Сколькими способами можно выбрать упорядоченные совокупности из к линейно независимых (над элементов поля

Если линейно независимых векюров уже выбраны, то они порой, дают пространство размерности содержащее векторов. Тогда вектор может быть выбран способами. Таким образом, илгеется способов выбора упорядоченного множества к линейно независимых элементов поля Так как каждое подпространство размерности к имеет различных базисов,

число различных -мерных подпространств задается формулой, участвующей в формулировке теоремы. Каждое -мерное подпространство имеет сдвигов, приводящих к аффинному подпространству, и каждое аффингое подпространство является сдвигом линейного подпространства.