16.3. Ограничения весов

Если не известны только коэффициентов и известны из тождеств Плесс можно определить неизвестных , а остальные коэффициенты — по формуле Мак-Вильямс.

Но для большинства кодов первые неизвестные значения соответствуют относительно малым а большинство из коэффициентов не известны. Прежде чем применять тождества Плесе для нахождения коэффициентов необходимо каким-то иным путем определить коэффициентов

Для некоторых классов кодов известно несколько методов определения некоторых коэффициентов Очевидно, что Если удается показать, что минимальное расстояние кода не меньше чем то для Полезными границами для минимального расстояния являются БЧХ-граница (см. разд. 7.4) и траница, указанная в теореме 15.22; в некоторых случаях эти границы могут быть улучшены с помощью сильных методов, развитых Мэттсоном и Соломоном [1961].

16.31. Теорема (Мэттсон — Соломон). Пусть степень простого числа и взаимно просто с . В любом циклическом коде над длины вес Хэмминга кодового слова равен где число корней степёни из единицы, являющихся корнями многочлена Мэттсона — Соломона (МС-многочлена)

Здесь значения степенных симметрических функций на кодовом слове

Доказательство.

Умножая (16.311) на и суммируя по , получим

Для любого нечетного сумма всех корней из единицы степени совпадает с коэффициентом при х в многочлене и, следовательно, равна 0. С другой стороны, так что

Из равенств (16.313) и (16.312) вытекает, что

или

Уравнение (16.314) называется формулой обращения Рида и выражает коэффициенты кодового слова через значения многочлена Мэттсона — Соломона на корнях степени из единицы.

16.315. Следствие. Вес каждого ненулевого кодового слова, для которого не меньше

Доказательство. Многочлен Мэттсона — Соломона не может иметь больше корней, чем его степень, которая не превосходит

Следствие 16.315 дает элегантное доказательство БЧХ-границы для минимального расстояния, но, к сожалению, не приводит к осуществимым процедурам декодирования. Тем не менее подход Мэттсона — Соломона иногда позволяет улучшить БЧХ-границу для минимального расстояния. Теорема 16.32 показывает, что для некоторых кодов с малой скоростью вопрос о достижимости БЧХ-границы может быть решен только с помощью вычислений в поле а не в расширении этого поля.

16.32. Теорема (Мэттсон — Соломон — Сервейра). Пусть степень простого числа, кратно и взаимно просто с а — примитивный корень степени из единицы в расширении поля множество классов вычетов вида для пусть наименьший элемент в (Например, если то Йбчх

Пусть истинное минимальное расстояние циклического кода с проверочным многочленом

Если взаимно просты, то тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент такой, что делит

Доказательство. Ненулевое кодовое слово может иметь вес тогда и только тогда, когда степень его многочлена Мэттсона — Соломона равна и все корни МС-многочлена — корни степени из единицы. Согласно предположению, так что кроме случая Таким образом, МС-многочлен для каждого кодового слова имеет вид

где Если то 0 — корень МС-многочлена, так что мы предположим, что и

где (так же, как и взаимные к ним) — корни степени из единицы. Приравняв старшие коэффициенты этих многочленов, получим равенство

Так как все элементы — корни степени из единицы, то и их произведение — корень степени из единицы. Так как кратно то корень степени из единицы. Следовательно, корень степени из единицы. Согласно предположению теоремы, взаимно просты, так что также корень степени из единицы. После подстановок в уравнение (16.321) получим, что

Так как различные корни степени из единицы, то делит

Следствие. Пусть простое число, мультипликативный порядок числа 2 по и — БЧХ-граница для минимального расстояния двоичного БЧХ-кода с длиной и скоростью Если то

Доказательство. Если делит то степень частного равна Но степень каждого делителя многочлена кратна числу превосходящему Единственная возможность йвчх исключается предположением о том, что

Следствие 16.322 дает другое доказательство того, что минимальное расстояние кода Голея больше пяти. Оно также показывает, что минимальное расстояние двоичного БЧХ-кода длины 43 с 15 информационными и 28 проверочными символами больше БЧХ-границы для этого кода, равной 7.

Границы для минимальных расстояний облегчают отыскание нумераторов весов кодов в двух направлениях: граница для минимального расстояния кода позволяет исключить некоторые неизвестные а граница для минимального расстояния кода 98 увеличивает минимальное значение для которого не известны Но даже при лучших границах минимальных расстояний все же часто тождества Плесс не позволяют найти нумераторы весов, так как неизвестных коэффициентов оказывается слишком много. Тем не менее иногда удается уменьшить количество неизвестных с помощью других методов, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем.

Если в двоичном коде с нечетной блоковой длиной то для всех Так как нечетно при четных и наоборот, то нумератор весов такого кода можно определить по нумератору весов суженного кода, состоящего из кодовых слов четного веса исходного кода. В суженном коде для всех нечетных

В таблице 16.1 содержатся несколько кодов (включая суженный код Голея с ненулевые веса которых удовлетворяют следующему условию: не только при но и при

Используя методы проективной геометрии, Глизон доказал, что этим свойством обладают все KB-коды с длиной Этот результат позволяет определить нумераторы весов КВ-кодов с блоковыми длинами 8, 24, 32 и 48 с помощью тождеств Плесс. Например, согласно следствию 15.27, минимальный нечетный вес КВ-кода с длиной 47 не меньше 9. Так как вес каждого кодового слова -удлиненного КВ-кода делится на 4, то неизвестными являются только коэффициенты Так как код, дуальный к -удлиненному KB-коду, эквивалентен этому коду, то для и неизвестные могут быть определены из тождеств Плесс.

Теорема 16.33, доказанная Соломоном и Макэлайсом [1966], обобщает теорему Глизона. Как обычно, через обозначается многочлен, взаимный к

16.33. Теорема (Соломон — Макэлайс). Если делится на то вес каждого кодового слова двоичного циклического кода, порожденного многочленом кратен 4.

Доказательство. По предположению теоремы из вытекает, что Следовательно,

Если кодовое слово, то двоичная запись его веса имеет вид

Теорема 16.33 утверждает, что из равенства (16.331) вытекает соотношение для всех кодовых слов С. Для доказательства этого утверждения надо получить выражения для через Для удобной записи таких выражений Соломон [1962] ввел величины

Очевидно, что

так что Согласно теореме Лукаса 4.71,

так что Теперь надо выразить величины через Из формулы 16.331 ясно, что

В силу Используя равенство (16.314), получим

Используя разбиение

запишем соотношение (16.333) в виде

Так как допустимы все то сумма принимает каждое из возможных значений по точно раз. Следовательно,

и, согласно формуле (16.311),

Для вычисления других членов в (16.334) заметим, что

Подставив это выражение в формулу (16.334), в силу соотношения (16.331) получим

Соломон и Макэлайс выразили через Их формула для оказалась очень полезной при определении весов нескольких кодов, но большинство формул для трудно использовать ввиду их чрезвычайной сложности.

Необходимо в качестве следствия из теоремы 16.33 отметить тот факт, что при вес каждого слова РМ-кода порядка кратен 4. Для доказательства достаточно только заметить, что если (число единиц в двоичной записи числа не превосходит то , а если то так что На самом деле для весов кодовых слов РМ-кода можно доказать выполнимость условия сильной четности. Допустимые значения весов РМ-кода первого порядка исчерпываются величинами Значения весов РМ-кода второго порядка также сильно ограничены, как показывает теорема 16.34.

16.34. Теорема (Казами [1968]). Вес каждого кодового слова любого подкода РМ-кода второго порядка с блоковой длиной имеет, вид

где в зависимости от кодового слова.

Замечание. Согласно теореме 15.34, каждое кодовое слова РМ-кода второго порядка может быть записано в виде

где и Для щения выражения (16.341) воспользуемся теоремой 16.35, принадлежащей Диксону [1901]. Доказательство теоремы 16.34 мы проведем после доказательства теоремы Диксона и следствий из нее. Хотя первая сумма в формуле (16.341) — квадратичная форма над мы проведем доказательство теоремы Диксона для поля что вызовет лишь незначительные усложнения.

16.35. Теорема (Диксон). Любая квадратичная форма от I переменных

с помощью линейного невырожденного преобразования переменных над полем может быть приведена к одной из следующих

канонических форм:

где нуль или элемент, поля для которого

Доказательство. Пусть наименьшее число переменных, через которые можно записать при произвольном обратимом линейном преобразовании переменных.

Докажем прежде всего, что если зависит от то, не ограничивая общности рассуждений, можно положить Если то можно заменить на Если для всех пар то полный квадрат и Следовательно, можно предположить, что Заменяя на

Полагая для преобразуем к виду

где Замена для исключает Таким образом, если зависит от и , то, не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что

Если для всех то не зависит от и можно предположить, что Полагая для приведем к виду Замена преобразует к виду где квадратичная форма от

Таким образом, мы показали, что любая квадратичная форма, зависящая от трех или большего числа переменных, может быть

приведена к виду где не зависит от Если зависит от большего числа переменных, то редукцию можно продолжить: и так далее до тех пор, пока в конце концов не получим квадратичную форму, зависящую не более чем от двух переменных. Единственная квадратичная форма, зависящая от одной переменной — это единственная квадратичная форма, зависящая от двух переменных, — это Если то очевидная подстановка приводит эту форму к виду если то, заменив х на на получим Если то это полный квадрат. Если то подстановка дает Подстановка приводит Если то и можно выбрать так, что если то и можно выбрать так, что Полагая приведем к виду

16.351. Следствие. Любой многочлен степени 2 от конечного числа переменных над конечным полем характеристики 2 может быть приведен с помощью обратимого аффинного преобразования его переменных к одной из канонических форм

Доказательство. Тождество

позволяет исключить все лишние линейные члены с помощью соответствующих линейных сдвигов.

Доказательство теоремы 16.34. Так как аффинные преобразования сохраняют многочлены степени 1, то они переводят кодовые слова РМ-кода первого порядка в другие кодовые слова РМ-кода первого порядка. Например, типичное аффинное преобразование может перевести Согласно следствию 16.351 и тому факту, что выражение (16.341) можно

привести к одному из видов

где Вес кодового слова равен числу координат, таких, что т. е. равен числу способов выбора двоичных координат удовлетворяющих уравнению

при Пусть число решений уравнения (16.353) для Тогда

Далее

так как точно половина из двоичных последовательностей длины удовлетворяет уравнению

Полагая в формулах для весов получим теорему 16.34.