Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
16.3. Ограничения весовЕсли не известны только Но для большинства кодов первые неизвестные значения Для некоторых классов кодов известно несколько методов определения некоторых коэффициентов 16.31. Теорема (Мэттсон — Соломон). Пусть
Здесь Доказательство.
Умножая (16.311) на
Для любого нечетного
Из равенств (16.313) и (16.312) вытекает, что
или
Уравнение (16.314) называется формулой обращения Рида и выражает коэффициенты кодового слова 16.315. Следствие. Вес каждого ненулевого кодового слова, для которого Доказательство. Многочлен Мэттсона — Соломона не может иметь больше корней, чем его степень, которая не превосходит Следствие 16.315 дает элегантное доказательство БЧХ-границы для минимального расстояния, но, к сожалению, не приводит к осуществимым процедурам декодирования. Тем не менее подход Мэттсона — Соломона иногда позволяет улучшить БЧХ-границу для минимального расстояния. Теорема 16.32 показывает, что для некоторых кодов с малой скоростью вопрос о достижимости БЧХ-границы может быть решен только с помощью вычислений в поле 16.32. Теорема (Мэттсон — Соломон — Сервейра). Пусть Пусть Если Доказательство. Ненулевое кодовое слово может иметь вес
где
где
Так как все элементы — корни
Так как Следствие. Пусть Доказательство. Если Следствие 16.322 дает другое доказательство того, что минимальное расстояние кода Голея больше пяти. Оно также показывает, что минимальное расстояние двоичного БЧХ-кода длины 43 с 15 информационными и 28 проверочными символами больше БЧХ-границы для этого кода, равной 7. Границы для минимальных расстояний облегчают отыскание нумераторов весов кодов в двух направлениях: граница для минимального расстояния кода Если в двоичном коде с нечетной блоковой длиной В таблице 16.1 содержатся несколько кодов (включая суженный код Голея с Используя методы проективной геометрии, Глизон доказал, что этим свойством обладают все KB-коды с длиной Теорема 16.33, доказанная Соломоном и Макэлайсом [1966], обобщает теорему Глизона. Как обычно, через 16.33. Теорема (Соломон — Макэлайс). Если Доказательство. По предположению теоремы из
Если
Теорема 16.33 утверждает, что из равенства (16.331) вытекает соотношение
Очевидно, что
так что
так что
В силу
Используя разбиение
запишем соотношение (16.333) в виде
Так как допустимы все
и, согласно формуле (16.311),
Для вычисления других членов в (16.334) заметим, что
Подставив это выражение в формулу (16.334), в силу соотношения (16.331) получим
Соломон и Макэлайс выразили Необходимо в качестве следствия из теоремы 16.33 отметить тот факт, что при 16.34. Теорема (Казами [1968]). Вес каждого кодового слова любого подкода РМ-кода второго порядка с блоковой длиной
где Замечание. Согласно теореме 15.34, каждое кодовое слова РМ-кода второго порядка может быть записано в виде
где 16.35. Теорема (Диксон). Любая квадратичная форма от I переменных
с помощью линейного невырожденного преобразования переменных над полем канонических форм:
где Доказательство. Пусть Докажем прежде всего, что если
Полагая
где Если Таким образом, мы показали, что любая квадратичная форма, зависящая от трех или большего числа переменных, может быть приведена к виду 16.351. Следствие. Любой многочлен степени 2 от конечного числа переменных над конечным полем характеристики 2 может быть приведен с помощью обратимого аффинного преобразования его переменных к одной из канонических форм
Доказательство. Тождество
позволяет исключить все лишние линейные члены с помощью соответствующих линейных сдвигов. Доказательство теоремы 16.34. Так как аффинные преобразования сохраняют многочлены степени 1, то они переводят кодовые слова РМ-кода первого порядка в другие кодовые слова РМ-кода первого порядка. Например, типичное аффинное преобразование может перевести привести к одному из видов
где
при
Далее
так как точно половина из
Полагая в формулах для весов
|
1 |
Оглавление
|