Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.6. Четно или нечетно число неприводимых делителей f(x) над GF(q)?Хотя существенное улучшение общего алгоритма разложения разд. 6 1 представляется маловероятным, другие методы позволяют получить некоторую информацию о делителях многочлена с помощью значительно меньших усилий. Рассмотрим, например, школьную формулу 6.61. Определение. Дискриминант
Как мы увидим, дискриминант является частным видом одной функции от двух многочленов, называемой результантом и определяемой следующим образом: 6.62. Определение. Результат двух многочленов
задается равенством
Из этого определения сразу вытекают следующие свойства результанта. (Доказательство (6.622) следует непосредственно из
6.623. Если 6.624. Если а и 6.625. Если
6.626. Если
Свойства Теорема 6.63 дает выражение для дискриминанта нормированного многочлена 6.63. Теорема.
Доказательство. Согласно свойству 6.627,
где
Тогда
Используя это соотношение между дискриминантом и результантом, можно вывести формулу для дискриминанта произведения. 6.64. Теорема. Если
Доказательство. Пусть степени
Утверждение теоремы вытекает из равенства
Повторное использование теоремы позволяет вычислить дискриминант произведения к нормированных многочленов
6.65. Теорема.
Мы можем теперь вычислить непосредственно дискриминанты некоторых многочленов. Рассмотрим, например, квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен является частным случаем трехчлена общего вида 6.66. Лемма Суона. Результант двух биномов определяется равенством
где Доказательство. Если а — примитивный корень
Так как порядок
и
6.67. Теорема Суона. Пусть
Доказательство. Для
где
Утверждение теоремы вытекает непосредственно из леммы 6.66 при Покажем теперь, что дискриминант многочлена 6.68. Теорема Штикельбергера (для полей нечетной характеристики). Пусть Доказательство. Рассмотрим сначала случай
Если
Так как
Так как
то
и
Следовательно, Если все неприводимые множители Теорема Штикельбергера определяет четность числа неприводимых множителей многочленов над полями с нечетной характеристикой при помощи дискриминанта многочлена. Для полей характеристики 2 дискриминанта недостаточно, но четность числа неприводимых делителей многочлена можно определить с помощью другой симметрической функции от его корней, к описанию которой мы сейчас переходим. 6.689. Определение. Для
положим
6.69. Теорема. Если
тогда и только тогда, когда
Замечание. Мы отложим вычисление Доказательство теоремы 6.69 основано на трех леммах. 6.691. Лемма.
Доказательство. В поле характеристики 2
6.692. Лемма. При Доказательство. Если
Если пололчить
Полагая
Так как
Следовательно, при 6.693. Лемма. Если
Доказательство. Пусть
согласно лемме 6.691, получаем
Следовательно, лемма 6.693 эквивалентна утверждению, что
Докажем теперь равенство (6.694), показав, что обе его части совпадают с
Так как перестановки
Аналогично
Это доказывает равенство (6.694) и лемму 6.693. Доказательство теоремы 6.69. Пусть
Теорема 6.69 позволяет определить четность числа неприводимых делителей многочлена 6.695. Теорема. Если
Пример Дискриминант кубического многочлена общего вида
Согласно теоремам 6.69 и 6.695, этот многочлен над
Доказательство теоремы 6.695. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что многочлен
Так как Аналогично функция
то
Согласно предположению,
Так как
то
Следовательно, в
и так как
В общем случае, если Сочетание двоичного варианта теоремы Штикельбергера и теоремы Суона приводит к следующему утверждению. 6.696. Следствие Суона. Пусть 1) 2) 3) Доказательство. Из теоремы Суона 6.67 вытекает, что
По предположению
Поэтому утверждение теоремы следует из рассмотрения вычетов числа
В случае
|
1 |
Оглавление
|