11.2. Наименьшее аффинное кратное

К сожалению, над полем мало аффинных многочленов. Над полем характеристики 2 квадратные многочлены — аффинные, а кубические — нет. Однако если умножить кубический многочлен на соответствующий линейный множитель, то получается аффинный многочлен четвертой степени. Корни кубического многочлена могут быть теперь легко найдены среди корней аффинного многочлена четвертой степени.

В общем случае если произвольный многочлен степени то алгоритм 11.21 позволяет найти аффинный многочлен, кратный

11.21. Алгоритм. Для определения аффинного многочлена и, кратного многочлену степени d над следует

11.211. Вычислить для

11.212. Используя результаты предыдущего шага, определить где

11.213. Решить систему линейных уравнений

Эта система d уравнений относительно неизвестных всегда имеет по крайней мере одно ненулевое решение, которое может быть найдено с помощью методов, описанных в разд. 2.5. Если решение зтой системы, то и — аффинное кратное Если на шаге 11.213 имеется несколько решений, то среди них можно выбрать нормированный многочлен наименьшей степени. Такой многочлен называется наименьшим аффинным кратным многочлена .

11.22. Пример.

Пусть

где над По модулю имеем

Это дает решение так что Для определения корней этого аффинного многочлена в находим

так что X имеет следующий вид

Решениями уравнения очевидно, являются . Среди этих 8 корней многочлена имеются и все корни многочлена в Оказывается, рассматриваемый многочлен имеет в корни