4.4. Алгебраическая структура конечных полей

Обсуждение алгебраической структуры конечных полей мы начнем с изучения аддитивных свойств единицы поля. Наряду с единицей поле содержит также элементы Если эти числа, которые мы будем называть числами поля, не все различны, то существуют такие целые числа тип, что или

4.401. Определение. Наименьшее натуральное число с, для которого в данном поле называется характеристикой этого поля.

Если элемент 2 1 отличен от нуля для любого натурального то говорят, что поле имеет характеристику (или, согласно старой терминологии, используемой некоторыми авторами, характеристику ).

Множество чисел поля замкнуто относительно операции умножения, так как

Если то, умножив на получим, что Значит, если то либо либо Это приводит к следующему результату:

4.402. Теорема. Характеристика любого поля равна или простому числу

Если характеристика поля равна то оно бесконечно. Если характеристика поля равна то его порядок может быть как конечным, так и бесконечным. Например, классы вычетов по модулю образуют конечное поле характеристики Пример бесконечного

поля характеристики дает множество всех рациональных функций от переменной функций вида где многочлены от х над полем классов вычетов по модулю

В любом поле характеристики множество чисел поля замкнуто не только относительно операций сложения и умножения, но и относительно операций вычитания и деления. Действительно, для любого целого числа согласно алгоритму Евклида, существуют такие числа что при Тогда в поле имеем так что Это дает

4.403. Теорема. В поле характеристики множество чисел поля образует подполе порядка изоморфное полю вычетов по модулю

Следующие выкладки показывают, что свойства поля существенным образом определяются свойствами его простого подполя. Первым результатом в этом направлении является

4.404. Теорема. В любом поле характеристики

Первое доказательство. Пусть и предположим, что где взаимно простые нормированные многочлены ненулевой степени, так что оба отличны от нуля. Тогда Так как делит то делит Но это невозможно, так как степень меньше степени Следовательно, никакие два делителя не являются взаимно простыми и есть степень некоторого неприводимого многочлена. Так как то неприводимый многочлен является делителем следовательно, ибо степень равна

Второе доказательство. Согласно формуле бинома Ньютона где биномиальные коэффициенты

При к числитель содержит множитель а знаменатель не делится на так что Это и доказывает теорему 4.404. в

Первым следствием этой теоремы является тот факт, что в поле характеристики не существует элементов, порядок которых кратен Действительно, если то так что Другим следствием этой теоремы является

4.405. Теорема. Если элементы поля характеристики то

для любого натурального

Доказательство. Прежде всего докажем теорему индукцией по для частного случая Предположение индукции состоит в равенстве При это утверждение тривиально. В общем случае

Таким образом, при теорема справедлива для всех Индукцией по к покажем, что для любого

Действительно,

Следствием из этой теоремы является один частный случай теоремы Ферма.

4.406. Следствие. Если — число поля характеристики то для всех натуральных

Доказательство.

С другой стороны, многочлен в любом поле имеет не более корней. Следовательно,

4.407. Теорема. Элемент поля характеристики является числом поля тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению

Таким образом, если не число поля, то Однако, как указывает теорема 4.408, существует связь между элементами

4.408. Теорема. Если многочлен над простым подполем поля характеристики такой элемент что то для всех натуральных

Доказательство. Пусть Так как каждое число поля, то

Элементы образуют подмножество степеней элемента и потому их число зависит только от порядка Точный результат дает теорема 4.409.

4.409. Теорема. Если элемент порядка в конечном поле характеристики то где мультипликативный порядок числа по модулю . Все элементов различны.

Доказательство. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда что справедливо в том и только том случае, когда кратно а это верно тогда и только тогда, когда Последнее равносильно тому, что

это выполняется тогда и только тогда, когда кратно мультипликативному порядку числа по модулю

Итак, если корень уравнения где многочлен над простым полем , то различные корни этого уравнения. Следующая теорема показывает, что над полем чисел поля существует многочлен степени единственными корнями которого являются

4.410. Теорема. Пусть элемент порядка в конечном поле характеристики и пусть мультипликативный порядок по модулю Тогда коэффициенты многочлена степени являются числами поля и этот многочлен неприводим над подполем чисел поля.

Доказательство. Так как то

Иными словами, справедливо тождество Если

то

и

Сравнивая коэффициенты многочленов получаем, что для каждого , так что является числом поля.

Пусть где нормированные многочлены над полем . Так как то либо либо

Если то, согласно предыдущему, так что степень равна Аналогично, если

Многочлен называется минимальным многого членом элемента так как любой многочлен для которого удовлетворяет также условиям следовательно, делится на Степень многочлена называется степенью элемента Так как элементы должны иметь тот же самый минимальный многочлен, что и элемент то они называются сопряженными с По той же причине мнимые числа называются сопряженными: они оба являются корнями неприводимого действительного многочлена

Так как минимальный многочлен элемента является неприводимым многочленом степени над простым подполем я, то многочленов от степени над различны. Они образуют поле. Хотя этот факт несколько раз использовался в предыдущих разделах, сама теорема настолько важна, что мы воспользуемся возможностью привести ее доказательство.

4.411. Теорема. Если элемент поля степени то все многочлены от над простым полем степени которых не превышают образуют подполе порядка

Доказательство. Прежде всего заметим, что разные многочлены от дают разные элементы поля, так как в противном случае корень их разности

Сумма или разность многочленов от степени также является многочленом от степени Произведение двух многочленов от степени после редукции по модулю минимального многочлена дает некоторый многочлен от степень которого Мультипликативный обратный любого многочлена от степени может быть найден путем применения к этому многочлену и минимальному многочлену для алгоритма Евклида. Так как минимальный многочлен элемента неприводим, то их н.о.д. равен 1 и равенство дает соотношение так что обратный элемент для Таким образом, многочлены от над простым полем , степень которых образуют поле порядка Каждый элемент этого поля может быть представлен в виде где числа поля.

Теперь мы можем показать, что каждое конечное поле может быть получено таким путем.

4.412. Теорема. Порядок конечного поля равен степени его характеристики.

Доказательство. Предположим, что поле имеет порядок и характеристику Согласно теореме 4.24, в поле содержится примитивный элемент а порядка Число сопряженных с а элементов равно мультипликативному порядку числа по модулю ; обозначим это число через Так как делит то Так как степень а равна то все многочлены от а, степени которых меньше различны и Следовательно,

Если уже показано, что каждый элемент х поля порядка удовлетворяет уравнению то или Следовательно, используя индукцию по получаем другое обобщение теоремы Ферма.

4.413. Теорема. Каждый элемент поля порядка удовлетворяет равенству при любом

Множество классов вычетов по модулю заданного неприводимого многочлена степени d над полем порядка образует поле порядка Если обозначить через а класс вычетов, содержащий то Таким образом, хотя неприводим над полем порядка в поле порядка он имеет корень. Так как а является элементом поля порядка то, согласно теореме 4.413, для любого Кроме того, элемент а удовлетворяет уравнению Следовательно, а является общим корнем многочленов Тогда где степень остатка меньше степени d многочлена В частности, полагая получаем, что или Но все многочлены от а, степени которых меньше представляют собой различные элементы поля порядка так что из соотношения следует, что Это доказывает теорему 4.414.

4.414. Теорема. Если к кратно то каждый неприводимый многочлен степени d над полем порядка делит

Например, каждый неприводимый двоичный многочлен степени 1 или 3 должен делить Произведение всех неприводимых двоичных многочленов степеней 1 и 3 равно . Это произведение также должно делить Так как степень этого произведения равна , то должно выполняться равенство которое легко проверить с помощью непосредственных вычислений.

В общем случае произвольного поля порядка произведение всех различных нормированных неприводимых многочленов, степени

которых делят к, является делителем многочлена Степень равна степень произведения всех различных нормированных неприводимых многочленов, степени которых делят к, равна сумме степеней всех этих многочленов. Для каждого делящего к, имеется различных нормированных неприводимых многочленов степени Следовательно, степень произведения всех различных нормированных неприводимых многочленов, степени которых делят к, равна Согласно теореме 3.35, это число равно следовательно, получаем

4.415. Теорема. Произведение всех неприводимых нормированных многочленов над полем порядка степени которых делят к, равно

В частности, над полем вычетов многочлен распадается в произведение всех нормированных неприводимых многочленов, степени которых делят к. В поле порядка мносочлен разлагается в произведение линейных множителей. Так как поле вычетов подполе поля порядка то приравнивая эти два разложения в поле порядка получаем

4.416. Теорема. Если многочлен степени над полем вычетов по модулю делит к, то поле порядка должно содержать корней многочлена

Из этого результата можно вывести единственность конечного поля порядка Для доказательства этого факта рассмотрим некоторый конкретный неприводимый многочлен степени к над простым полем. Любое конечное поле порядка содержит к корней Если обозначить через а один из этих корней, то каждый элемент поля может быть представлен в виде многочлена от а степени Это дает теорему 4.417.

4.417. Теорема. Для каждого простого числа и произвольного к существует единственное конечное поле порядка Это поле называется полем Галуа порядка и обозначается через

С точки зрения прикладника такое подчеркивание факта единственности поля вводит в заблуждение, так как это поле, как мы видели в примере разд. 4.5, может иметь много различных представлений. Конструкция и стоимость оборудования, реализующего вычисления в существенно зависят от выбора представления поля. Поэтому некоторые инженеры предпочитают рассматривать различные представления как различные поля.

Эта точка зрения, в частности, оправдана в ситуациях, при которых переход от одной формы представления к другой дает большой выигрыш.

Нормированные неприводимые многочлены, степени которых делят к, образуют подмножество множества нормированных неприводимых многочленов, степени которых делят тогда и только тогда, когда кратно Следовательно, если некоторая степень простого числа; то справедлива

4.418. Теорема. является подполем поля тогда и только тогда, когда кратно к.

Если неприводимый многочлен степени над полем то каждый корень лежит в Если — один из таких корней, то все корни совпадают с Эти элементы называются -сопряженными с Если — степень простого числа то -сопряженные элементы составляют подмножество соответствующих -сопряженных элементов.