4. Уравнения динамики грунтов

Приведем уравнения, описывающие поведение грунтов в случае действия на них динамических нагрузок. В первую очередь будут представлены уравнения динамики грунтов, предложенные С. С. Григоряном [35]. На базе этих уравнений рассмотрен ряд квазистатических и динамических краевых задач, связанных с процессами распространения волн напряжений в грунтах, вызванных разного рода взрывами.

Приведем также определяющие уравнения для грунтов, чувствительных к скорости деформации. Эти уравнения были предложены Ольшаком и Пэжиной [86].

Наконец приведем некоторый способ описания механических свойств грунта, опираясь на деформационные теории и принимая так называемую модель жесткой разгрузки, т. е. предполагая, что в процессе разгрузки интенсивность деформации не изменяется. В случае одномерных задач это приводит к предположению, что при разгрузке тело ведет себя как идеально жесткое.

4.1. Уравнения С. С. Григоряна

Уравнения динамики грунтов, представленные в этом пункте, были предложены С. С. Григоряном [35] в 1960 г.

Если элемент среды испытывает необратимое изменение объема, то плотность среды и давление действующее на среду, связаны соотношением

Необратимое изменение плотности проявляется только в про цессе нагрузки (см. п. 1.2). Соотношение (4.1) справедливо лишь, когда

Для процесса разгрузки это соотношение будет иметь вид

где максимальное давление (рис. 15), до которого нагружен рассматриваемый элемент среды в процессе предшествующего необратимого изменения его объема. В силу (4.1), можно

ввести значение плотности соответствующее давлению

Значения или можно трактовать как параметры, характеризующие граничную необратимую объемную деформацию.

В процессе разгрузки, начинающейся в точке кривой (4.1), происходит необратимое изменение объема: точка, описывающая этот процесс, перемещается по кривой (4.2).

Рис. 15.

Эта точка может достигнуть положения отвечающего такому состоянию рассматриваемого элемента, в котором он не сможет выдержать большего всесторонне растягивающего напряжения. Множество таких состояний образует кривую

Соотношения (4.1) — (4.3) можно записать в виде

Условие

где Н - функция Хевисайда, показывает, что необратимая деформация возникает только при увеличении

Основное положение теории пластического течения заключается в том, что, когда деформации сдвига не могут протекать чисто упруго, часть бесконечно малых деформаций протекает пластически необратимо и пропорционально девиатору напряжений.

В качестве условия текучести здесь принята зависимость второго инварианта девиатора напряжений от давления

где неубывающая функция своего гумента.

Эта модель с условием текучести (4.7) отличается от модели теории пластичности для металлов, в которой принимается или постоянным в процессе пластической деформации (идеальная пластичность), или зависящим от характеристики пластической деформации (упрочнение). Соотношение (4.7) является условием типа идеальной пластичности, в котором предел текучести зависит от первого инварианта тензора напряжений — давления Это условие есть условие типа Мизеса — Шлейхера.

Для определения упругой составляющей деформации сдвига используется понятие производной Яуманна по времени от девиатора напряжений. Это приводит к следующим соотношениям между составляющими девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций:

где символом обозначена производная Яуманна, определяемая по формуле

где

Параметр К должен оставаться положительным в ходе пластической деформации. В случае малых перемещений и деформаций уравнения (4.8) при преобразуются в обычный закон Гука.

Параметр Я можно определить, используя условие пластичности (4.7). Умножая (4.8) на и суммируя, получаем

где скорость изменения энергии формоизменения. Используя соотношения

и учитывая также условие пластичности (4.7), получаем

Формула (4.12) имеет место только тогда, когда т. е. когда В противном случае

Параметр можно представить в виде единой аналитической формулы, именно

Итак, выражения (4.8), (4.9) и (4.13) дают полное описание деформаций сдвига.

Экспериментальные исследования песчаных грунтов [2] подтвердили справедливость принятого условия пластичности типа (4.7), а также позволили установить, что для песчаных грунтов в реальных условиях при функция имеет следующий вид:

где а и постоянные. В работе [2] дано описание опытов, на основе которых определяется функция а также функции (4.1) и (4.3).