29. Тепловой удар на границе упруго/вязкопластического полупространства

Рассмотрим решение задачи о распространении волн в полупространстве, вызванных тепловым ударом на его границе [78, 79, 112]. Первыми попытками решения динамических задач термопластичности были работы Суворова [126, 127]. Предполагалась зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Следствием этого предположения явилась конечность скорости распространения температурных волн, что было бы близко к действительности только в том случае, если бы описывало свойства широкого класса материалов. Принятие нелинейного уравнения теплопроводности приводит к значительному упрощению вида уравнений, дающих, однако, искусственное бездисперсионное с волной слабого разрыва решение

уравнения теплопроводности. Задача о распространении плоских термопластических волн подробно рассмотрена в работе Ранецкого [112]. В предположении независимости физических постоянных от температуры он решил задачу о тепловом ударе на границе полупространства, заполненного упругопластической средой. Решение проведено при помощи метода характеристик, применяемого при решении задач об ударах чисто механического типа. Задача о тепловом ударе была затем обобщена на случай упруго/вязкопластической среды [78, 79]. Мы приводим лишь решение в случае деформации упруго/вязкопластической среды, определяемой уравнениями (3.31).

Используем классическое уравнение теплопроводности, которое решается независимо от уравнений движения. Предполагаем, кроме того, независимость физических постоянных от температуры, полагая, что эти решения относятся к температурам, меньшим, скажем, Как известно, при умеренно высоких температурах изменение предела текучести, модуля упругости, параметра упрочнения и коэффициента вязкости для довольно широкого класса металлов незначительно. Вместе с тем для этих температур при тепловом ударе могут возникнуть пластические деформации.

Решение проведем в координатной плоскости при помощи метода характеристик, примененного к решению задач о распространении волн, вызванных механическими нагрузками.

Рассмотрим в системе декартовых координат х упруго/вязкопластическую среду, занимающую полупространство . Среда, занимающая область находящаяся первоначально при температуре в момент была подвергнута воздействию температуры, линейно возрастающей от нуля и затем постоянной:

Определяющие уравнения (3.31) в случае одноосного деформированного состояния в полупространстве сводятся к уравнениям

где принято, что где

Уравнение теплопроводности (28.4) для полупространства имеет вид

Решение уравнения теплопроводности при краевом условии (29.1), начальном условии

и условии ограниченности решения на бесконечности имеет вид:

Система уравнений (29.2) вместе с уравнением движения (5.5) (при ) и уравнением (5.7), которые в случае одноосного полупространства имеют вид

составляет полную систему уравнений поставленной задачи. Для однозначности решения зададим начальные условия

и краевое условие

Система уравнений (29.2) и (29.6) относится к гиперболическому типу. Она имеет следующие семейства характеристик:

где введены безразмерные переменные:

Вдоль характеристик (29.9) в случае решения уравнения теплопроводности в форме (29.5) имеют место следующие соотношения

вдоль

при при подвергается изменению аргумент функции входящей в (29.11). При в (29.1 необходимо подставить — вместо

Рис. 96.

Рассмотрим теперь решения в отдельных областях координатной плоскости (рис. 96).

Область Это область упругих деформаций. Ввиду двойной записи решения уравнения теплопроводности (29.5) она разбита на две подобласти а и Систему уравнений (29.2) и (29.6) в области упругих деформаций (т. е. при можно свести к уравнению в перемещениях (28.1). Пользуясь методом, предложенным в предыдущем пункте, из формул (28.13), (28.15) и (28.12), продифференцировав последнюю, получим решения для полей деформаций, напряжений и скоростей в области При этом использовались решение уравнения теплопроводности (29.5) и граничные условия (29.7), (29.8).

В области

при

В области 16:

при , где

Введем безразмерную величину определенную как зависящую от физических свойств среды и температуры Исследуем, при каких значениях параметра и безразмерного значения в полупространстве, нагретом на границе согласно (29.1), возникают остаточные деформации. Иными словами, для каких значений в среде начнут распространяться пластические волны.

Исследуя изменение во времени деформации в определенном сечении, на основании (29.12) можно утверждать, что является монотонно возрастающей функцией; она достигает максимального значения на характеристике и монотонно возрастает вдоль характеристики . В некоторой точке (рис. 96) она достигает значения

Из этого условия определяются координаты точки появления пластической волны При среда будет деформироваться пластически.

Условие возникновения пластической волны записывается в виде

здесь определяется по формуле т. е. при

Подставляя (29.16) в (29.15) и совершая предельный переход, получим

Отсюда условие появления пластической волны окончательно выражается в виде

На рис. 97 представлена кривая Для произвольных значений координат точек, лежащих в области в полупространстве, нагретом на границе согласно (29.1), возникают пластические деформации. При получим условие появления пластических деформаций при тепловом ударе: т. е. тогда, когда на поверхности полупространства в момент внезапно возникает температура Краевое условие типа при означает соприкосновение поверхности с большим количеством протекающей жидкости с постоянной температурой при идеальных условиях теплообмена. Такой случай имеет место на практике, например при нагреве поверхности насыщенным водяным паром.

Возникает вопрос, достаточно ли условие (29.18) для появления на границе полупространства пластической волны (рис. 96).

Из определяющих уравнений (20.2) при (процесс упругого нагружения) и из краевого условия (29.8) следует,

что

Условие появления пластической волны записывается в виде

отсюда

Но в силу (29.18), следовательно,

Рис. 97.

При выполнении условия (29.18), т. е. условия, при котором в среде появляются пластические деформации сжатия — область II, в результате влияния границы появляются также пластические деформации растяжения — область III. Пластическая волна слабого разрыва берет начало на границе полупространства и появляется в момент Предельный случай имеет место при условии что отвечает, в силу (29.18), значению (тепловой удар с постоянной температурой ).

Займемся теперь определением пластической волны и ее асимптоты. Условием определения волны является равенство (29.14):

Используя решение в деформациях в области I (формула на основании (29.22) получим уравнение для

определения в неявном виде формы волны

и

Исследуем производную волны :

и

Сравнивая (29.25) и (29.26) с решением в области I (формулы (29.12)), можно установить, что

Анализируя формулы (29.12), можно видеть, что для произвольных значений

Так как соотношения (29.12) справедливы только при

причем равенство в (29.27) следует исключить из физических соображений. Кроме того, можно установить, что

для произвольных и при Отсюда

Следовательно, производная пластической волны слабого разрыва ограничена в пределах

Запишем (29.27) в несколько ином виде, а именно

При исследуем предел этой производной при

Исходя из формул (29.12) и уравнения пластической волны (29.24), из (29.34) получим

Таким образом, асимптотой пластической волны является прямая с уравнением

Подставляя уравнение асимптоты (29.36) в уравнение волны (29.24) и переходя к пределу при получим

отсюда

Следовательно, уравнением асимптоты пластической волны является прямая

Если асимптота волны для случая теплового удара с постоянной температурой [78, 112] запишется в виде

Для числовых данных на рис. 98 представлена форма пластической волны нагрузки Асимптотой этой волны, согласно (29.39), является прямая . Как видно из рис. 98, пластическая волна быстро приближается к своей асимптоте,

Перейдем теперь к решению задачи в остальных областях координатной плоскости.

Область IIа. В этой области необходимо решать задачу Коши для системы уравнений (29.2) и (29.6). Так как нельзя проинтегрировать соотношения вдоль характеристик (29.11), решение системы уравнений (29.2) и (29.6) в области IIа следует строить численным путем. С этой целью используется метод сеток характеристик. Начальные данные на кривой для случая задачи Коши определяются из решений в области

Рис. 98.

Области III, IV и IIб. Решение в этих областях проводится одновременно. Из точки ( (рис. 96) начинает распространяться пластическая волна слабого разрыва ограничивающая область III пластических деформаций растяжения.

Условием определения волны является равенство

и

где - интенсивность деформаций на волне разгрузки (рис. 96). При помощи проведенных вычислений показано существование волны разгрузки Эта волна

начинает распространяться из точки условие ее определения имеет вид

В случае определяющих уравнений (3.13) деформационной теории имеем

Отсюда

Как и ранее, решение в областях III, IV и (область при есть область упругой нагрузки, при область разгрузки) и определение волн из условий (29.40) — (29.44) проводится одновременно методом характеристик с помощью соотношений (29.11).

Рис. 99.

На рис. 98 представлено решение в координатной плоскости при выбранных значениях На рис. 99 представлены графики изменения деформаций во времени в сечениях .

Для заданного в виде (29.1) распределения температуры на границе полупространства решим теперь квазистатическую задачу. Кривую (рис. 98), ограничивающую область

вязкопластических деформаций , определим из соотношения на вертикальной характеристике

Здесь принято так как волну найдем со стороны упругой области.

Для квазистатического решения следует положить что вытекает непосредственно из уравнения движения Следовательно, из (29.45) получим

Интегрируя эти уравнения и используя начальное условие найдем

Кривая определяется из формул (29.47), если положить в них Для определения кривой получим неявное уравнение

Кривая при также представлена на рис. 98. Видно, что уже при очень малых значениях времени пластическая волна слабого разрыва стремится к квазистатическому решению

Наконец, на основании приведенных решений можно

установить, что при пластическая волна слабого разрыва переходит в пластическую волну сильного разрыва для Далее при будет распространяться упругая волна сильного разрыва, совпадающая с характеристикой Решение на фронте волны сильного разрыва так же, как это сделано в можно свести к решению интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода. При этом используются условие динамической непрерывности, соотношение на положительной характеристике (29.11) и тот факт, что на фронте волны сильного разрыва скорость деформаций неограниченно велика.

Рис. 100.

В результате для деформаций получим интегральное уравнение вида

Постоянная интегрирования определяется из краевого условия В [78] доказано, что подынтегральная функция ограничена и удовлетворяет условию Липшица (см. также для аналогичной подынтегральной функции).

Из анализа уравнения (29.49) следует, что деформация на волне со стороны области III (рис. 100) на границе равна 20, и затем она уменьшается с ростом Точка окончания пластической волны сильного разрыва определяется из условия

При пластическая волна сильного разрыва переходит в волну слабого разрыва с уравнением (рис. 100). На волне сильного разрыва при решение получается из (29.49), если положить следовательно,

и

При функция не может быть определена из формул (29.12). Ее следует определять из дискретных решений в области Решение в областях III и IV строится, так же как и раньше, численным путем. На основании числовых расчетов можно установить, что пластическая волна слабого разрыва, уравнение которой уже по истечении малого отрезка времени сближается с кривой ограничивающей область пластических деформаций для квазистатической задачи (рис. 100):

где функция, обратная функции ошибок.

На границе полупространства можно получить решение в замкнутом виде, которое совпадает с квазистатическим. Деформация на границе полупространства возрастает от значения достигая в пределе значения

если принять линейное упрочнение материала Без учета упрочнения материала получим

Разница в деформациях на границе полупространства в обоих случаях имеет порядок 6%, и в глубь области она убывает. По истечению достаточно большого времени динамический эффект исчезает. Можно заметить, что асимптотические результаты для упруго/вязкопластической среды очень близки к решениям Ранецкого [112], основанным на модели деформационной теории пластичности.

Выше была рассмотрена задача о тепловом ударе на границе полупространства. Эта задача значительно усложняется, если тепловой удар сопровождает действие механических динамических нагрузок. Картина решения на координатной плоскости

для этой задачи довольно сложна. Механическое возмущение с конечной скоростью, равной скорости продольных волн, распространяется в уже деформированной среде в результате изменения температуры на границе. При картина решения, очевидно, будет такой же, как в случае только теплового удара. Но уже на волне сильного разрыва несущей воздействие границы, в решение будет входить краевое условие для механической нагрузки.

Если принять краевое условие для давления в виде причем то механическая нагрузка будет вызывать внутри полупространства только сжимающие деформации. Тепловая же нагрузка будет способствовать появлению внутри полупространства растягивающих деформаций для времени Величина давления, приложенного к границе в начальный момент, и изменение во времени давления и температуры на границе полупространства будут определять решение на волне и конфигурации областей пластических деформаций на координатной плоскости для Определение решения в областях координатной плоскости, лежащих выше характеристики представляет значительную трудность прежде всего ввиду необходимости рассматривать ряд вариантов решения (в зависимости от значений и изменений во времени нагрузок на границе). Кроме того, осложняется применение метода сеток характеристик. Это следует из трудности выбора соответствующего размера элементарной ячейки сетки характеристик: температурные эффекты убывают вглубь очень быстро, а возмущения, вызванные механической нагрузкой, убывают очень медленно. При напряжения стремятся к значениям, отвечающим пределу текучести. Приходится поэтому строить решение при иным путем, например при помощи метода итераций Куранта.