Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 29. Тепловой удар на границе упруго/вязкопластического полупространстваРассмотрим решение задачи о распространении волн в полупространстве, вызванных тепловым ударом на его границе [78, 79, 112]. Первыми попытками решения динамических задач термопластичности были работы уравнения теплопроводности. Задача о распространении плоских термопластических волн подробно рассмотрена в работе Ранецкого [112]. В предположении независимости физических постоянных от температуры он решил задачу о тепловом ударе на границе полупространства, заполненного упругопластической средой. Решение проведено при помощи метода характеристик, применяемого при решении задач об ударах чисто механического типа. Задача о тепловом ударе была затем обобщена на случай упруго/вязкопластической среды [78, 79]. Мы приводим лишь решение в случае деформации упруго/вязкопластической среды, определяемой уравнениями (3.31). Используем классическое уравнение теплопроводности, которое решается независимо от уравнений движения. Предполагаем, кроме того, независимость физических постоянных от температуры, полагая, что эти решения относятся к температурам, меньшим, скажем, Решение проведем в координатной плоскости при помощи метода характеристик, примененного к решению задач о распространении волн, вызванных механическими нагрузками. Рассмотрим в системе декартовых координат х упруго/вязкопластическую среду, занимающую полупространство
Определяющие уравнения (3.31) в случае одноосного деформированного состояния в полупространстве сводятся к уравнениям
где принято, что Уравнение теплопроводности (28.4) для полупространства имеет вид
Решение уравнения теплопроводности при краевом условии (29.1), начальном условии
и условии ограниченности решения на бесконечности имеет вид:
Система уравнений (29.2) вместе с уравнением движения (5.5) (при
составляет полную систему уравнений поставленной задачи. Для однозначности решения зададим начальные условия
и краевое условие
Система уравнений (29.2) и (29.6) относится к гиперболическому типу. Она имеет следующие семейства характеристик:
где введены безразмерные переменные:
Вдоль характеристик (29.9) в случае решения уравнения теплопроводности в форме (29.5) имеют место следующие соотношения
вдоль
при
Рис. 96. Рассмотрим теперь решения в отдельных областях координатной плоскости Область В области
при В области 16:
при Введем безразмерную величину Исследуя изменение во времени деформации
Из этого условия определяются координаты точки появления пластической волны Условие возникновения пластической волны
здесь
Подставляя (29.16) в (29.15) и совершая предельный переход, получим
Отсюда условие появления пластической волны
На рис. 97 представлена кривая Возникает вопрос, достаточно ли условие (29.18) для появления на границе полупространства пластической волны Из определяющих уравнений (20.2) при что
Условие появления пластической волны
отсюда
Но
Рис. 97. При выполнении условия (29.18), т. е. условия, при котором в среде появляются пластические деформации сжатия — область II, в результате влияния границы появляются также пластические деформации растяжения — область III. Пластическая волна слабого разрыва Займемся теперь определением пластической волны
Используя решение в деформациях в области I (формула определения в неявном виде формы волны
и
Исследуем производную волны
и
Сравнивая (29.25) и (29.26) с решением в области I (формулы (29.12)), можно установить, что
Анализируя формулы (29.12), можно видеть, что для произвольных значений
Так как соотношения (29.12) справедливы только при
причем равенство
для произвольных
Следовательно, производная пластической волны слабого разрыва ограничена в пределах
Запишем (29.27) в несколько ином виде, а именно
При
Исходя из формул (29.12) и уравнения пластической волны (29.24), из (29.34) получим
Таким образом, асимптотой пластической волны
Подставляя уравнение асимптоты (29.36) в уравнение волны (29.24) и переходя к пределу при
отсюда
Следовательно, уравнением асимптоты пластической волны
Если
Для числовых данных Перейдем теперь к решению задачи в остальных областях координатной плоскости. Область IIа. В этой области необходимо решать задачу Коши для системы уравнений (29.2) и (29.6). Так как нельзя проинтегрировать соотношения вдоль характеристик (29.11), решение системы уравнений (29.2) и (29.6) в области IIа следует строить численным путем. С этой целью используется метод сеток характеристик. Начальные данные на кривой
Рис. 98. Области III, IV и IIб. Решение в этих областях проводится одновременно. Из точки ( Условием определения волны
и
где начинает распространяться из точки
В случае определяющих уравнений (3.13) деформационной теории имеем
Отсюда
Как и ранее, решение в областях III, IV и
Рис. 99. На рис. 98 представлено решение в координатной плоскости при выбранных значениях Для заданного в виде (29.1) распределения температуры на границе полупространства решим теперь квазистатическую задачу. Кривую вязкопластических деформаций
Здесь принято Для квазистатического решения следует положить
Интегрируя эти уравнения и используя начальное условие
Кривая
Кривая Наконец, на основании приведенных решений можно установить, что при
Рис. 100. В результате для деформаций получим интегральное уравнение вида
Постоянная интегрирования определяется из краевого условия Из анализа уравнения (29.49) следует, что деформация на волне со стороны области III (рис. 100) на границе
При
и
При
где На границе полупространства можно получить решение в замкнутом виде, которое совпадает с квазистатическим. Деформация на границе полупространства возрастает от значения
если принять линейное упрочнение материала
Разница в деформациях на границе полупространства в обоих случаях имеет порядок 6%, и в глубь области она убывает. По истечению достаточно большого времени динамический эффект исчезает. Можно заметить, что асимптотические результаты для упруго/вязкопластической среды очень близки к решениям Ранецкого [112], основанным на модели деформационной теории пластичности. Выше была рассмотрена задача о тепловом ударе на границе полупространства. Эта задача значительно усложняется, если тепловой удар сопровождает действие механических динамических нагрузок. Картина решения на координатной плоскости для этой задачи довольно сложна. Механическое возмущение с конечной скоростью, равной скорости продольных волн, распространяется в уже деформированной среде в результате изменения температуры на границе. При Если принять краевое условие для давления в виде
|
1 |
Оглавление
|