19. Распространение сферической волны разгрузки в упругопластической среде с жесткой характеристикой разгрузки

Рассмотрим задачу о распространении сферической волны разгрузки в упругопластической однородной среде, полагая, что разгрузка происходит при постоянной интенсивности деформаций, т. е. что для данного радиуса (см. (4.22)). Это условие в рассматриваемом случае не означает, что среда является «жесткой», как это было в случае одноосного напряженного или деформированного состояния (см. п. 14), так как возможно изменение во времени составляющих тензора деформации

Зададим краевое условие для в виде

и примем в качестве начального условие (17.2).

Определяющие уравнения и уравнения движения идентичны уравнениям в рассмотренном ранее ряде задач для сферических упругопластических волн (уравнения (17.3) и (16.4)). Так же как и ранее, с целью упрощения вычислений вводится функция . В процессе пластического нагружения принимается линейная аппроксимация функции заданная формулой (17.9); она представлена на рис. 67, а. В процессе разгрузки примем, что есть функция только радиуса

Уравнение движения (16.4) с учетом (17.9) имеет вид (16.6).

В большинстве случаев, касающихся распространения сферических волн в материале с жесткой разгрузкой (например,

[44, 57, 58]), в целях дальнейшего упрощения вычислений принимается аппроксимация функции представленная на рис. 67, б. Такая аппроксимация дает существенное упрощение решений в случае задач об отражении волн сильного разрыва.

Рис. 67.

Вид решения задачи о распространении волн представлен на рис. 68 [44]. В области перемещения и деформации равны нулю. Это следует из того, что на отрезке принято жесткое нагружение (рис. 67,б).

Рис. 68.

Напряжение в этой области определяется из если принять, что (рис. 67,б). Отсюда

Область II есть область разгрузки. Это вытекает из вида принятого краевого условия и из модели среды. Эта область ограничена волной сильного разрыва, которая вместе с тем является волной разгрузки. Эта волна совпадает с

характеристикой где модуль линейного упрочнения материала. Благодаря принятому допущению о «жесткой» разгрузке, в области II выполняется условие (19.2). Интегрируя это условие, получим выражение для перемещения в виде

Для скорости имеем

Допустим пока, что на границе сферической полости радиуса скорость частиц известна; обозначим ее индексом нуль, т. е. Тогда на основании (19.5) имеем

Перемещение определим из (19.6) путем интегрирования этого соотношения по времени в пределах от до

Подставляя (19.7) в уравнение движения (17.6), после интегрирования этого уравнения по переменной получим

Произвольная функция определяется из краевого условия (19.1). После преобразований получим

следовательно,

На фронте волны сильного разрыва должно быть выполнено условие динамической непрерывности (7.18), которое в случае сферической симметрии приобретает вид

При помощи этого условия, а также учитывая выражения (17.5) 1, (19.7) и (19.10), после некоторых преобразований для

определения неизвестной функции получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

где

Применяя метод последовательных приближений, общее решение уравнения (19.12) получим в виде

где

Как показано в [44], каждый член резольвенты в формуле (19.13) ограничен. Для предложенного приближенного решения даны оценки погрешностей. В некоторых частных случаях решение уравнения (19.12) можно найти в замкнутом виде.

Зная функцию теперь легко найти решение в области II координатной плоскости. На основании формулы (19.8) определяется функция далее из формул (17.5), учитывая (19.7), получим выражение для напряжений скорость подсчитаем по формуле (19.6). Остаточные деформации определяются по формуле

где значение функции на волне разгрузки

Рассмотрим теперь задачу об отражении волны разгрузки от недеформирующейся сферической преграды, концентричной сферической полости радиуса расположенной на расстоянии Предположим, что давление на поверхности сферической полости столь велико, что на волне отраженной от преграды, интенсивность напряжений для превышает значение (на графике рис. 67, значение Отраженная волна будет распространяться в неоднородной среде с переменным пределом текучести.

В рассматриваемом случае область определения решения в области II ограничена временем . В области решение строится так же, как в области II. Согласно принятой модели среды с жесткой разгрузкой, в области III должно удовлетворяться условие (19.2):

где индекс 3 означает, что перемещение относится к области III. Как и прежде, интегрируя это условие, получим

Затем находится выражение для скорости

Предполагая вновь, что функция известна, получим в области III соотношения, аналогичные (19.6) — (19.8). Функции определяются из граничных условий: краевого условия при и условия непрерывности функции на фронте отраженной волны

Подставляя в эти условия выражения (19.16), (19.8), (19.5) и полагая получаем систему уравнений

Отсюда после исключения функции находим

где

В [58] уравнение (19.19) сведено к интегральному уравнению Вольтерра второго рода путем подстановок

Получается интегральное уравнение вида

постоянные А и В определяются из начальных условий при

Зная функцию из решения уравнения (19.19) на основании формул (19.16), (19.5), (17.5) легко определить параметры решения в области 111; остаточные деформации при данном будут такими же, как в области II; они определяются формулой (19.14).

Область IV координатной плоскости (рис. 68) будет областью разгрузки. При т. е. на недеформирующейся границе, должно быть выполнено условие для перемещения: или же условие для скорости: . Из уравнения (19.4) при этом условии следует, что , а отсюда на основании (19.5)

Теперь уравнение движения (17.6) значительно упрощается и принимает вид

Интегрируя это уравнение, получим

Функция определяется из условия динамической непрерывности на фронте отраженной волны:

Используя и тот факт, что на отраженной волне имеет место равенство из (19.24) получим соотношение

Из него можно определить функцию

где . В свою очередь из (19.23) можно найти функцию

Напряжения определяются из формул (17.5), а остаточные деформации — из (19.14). Через обозначено значение функции на отраженной волне разгрузки.

Отраженная волна разгрузки исчезает в момент определяется из условия

Время ограничивает область определения решений в области IV.

Нахождение решения в остальных областях координатной плоскости не представляет трудности. Согласно краевому условию при имеем Следовательно, мы имеем дело со статической задачей. В различных областях перемещения и деформации будут иметь следующий вид:

Аналогичные соотношения получаются для составляющих Для напряжений находим

Для областей VII и VIII в формулах для составляющих напряжений следует принять

В работе [57] для модели упругопластической среды с жесткой разгрузкой решена задача о распространении сферических волн в слоистой среде. Приведенное здесь решение задачи об отражении волны разгрузки от жесткой преграды следует из приведенных там решений как частный случай.