20. Сферические и цилиндрические радиальные волны в упруго/вязкопластической однородной среде

Так как для среды, чувствительной к скорости деформаций, решения задач о распространении сферических и цилиндрических радиальных волн аналогичны, в настоящем пункте оба эти решения представлены одновременно.

Рассмотрим неограниченную упруго/вязкопластическую среду со сферической или цилиндрической полостью с начальным радиусом . К поверхности этой полости приложено равномерно распределенное переменное во времени давление Примем краевое условие в виде (17.1). Если в случае сферической или цилиндрической симметрии учесть условия, заданные согласно (16.1) и (16.2), то определяющие уравнения (3.5) для сред, чувствительных к скорости деформации, приобретают вид

здесь использованы соотношения для малых деформаций

и введены обозначения где в случае сферических волн, в случае цилиндрических радиальных волн.

Второй инвариант девиатора напряжений, входящий в функцию релаксации, имеет следующий вид:

Эти уравнения вместе с уравнением движения (16.9) составляют полную систему уравнений задачи. Она относится к системе уравнений первого порядка гиперболического типа относительно скорости составляющих тензора напряжений и тензора деформаций. Характеристиками этой системы (на основании являются прямые, уравнения которых имеют вид

На основании (9.17) вдоль характеристик должны быть выполнены следующие соотношения:

Для уравнений (3.5) в общем случае не найдено решение задачи о распространении сферических и цилиндрических радиальных волн в замкнутом виде. Решение на фронтах волн сильного разрыва приводит к интегральным уравнениям, в области же вязкопластических деформаций решения строятся численно при помощи метода сеток характеристик или метода последовательных приближений (см. п. 9).

Для краевого условия вида (17.1) (при нулевых начальных условиях) в невозмущенной области будет распространяться волна сильного разрыва, совпадающая с характеристикой На фронте этой волны должны быть выполнены условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности. Эти условия имеют вид

Исходя из того, что на волне сильного разрыва скорость деформации бесконечна, а также из (20.1) и (20.5), получим соотношения между составляющими тензора напряжений на фронте волны

в случае сферической волны и

в случае цилиндрической радиальной волны.

Для получения решения на фронте волны сильного разрыва будем исходить из соотношения на положительной характеристике учитывая (20.5) и (20.6). После преобразований и представления всех величин через получим уравнение

причем принято, что функция текучести имеет вид (3.1). При решении уравнения (20.7) заметим, что параметр упрочнения определенный формулой (3.1) на фронте волны может зависеть только от переменных На основании (3.1) в случае сферической или цилиндрической симметрии имеем

Второй член в правой части (20.8) равен нулю ввиду того, что

Выделяя в составляющих тензора деформаций упругую и пластическую части и используя условия (20.5), получаем

Из закона Гука и соотношения (20.6) для еегг получим выражение

Отсюда непосредственно следует, что

Так как на фронте волны сильного разрыва энергия деформации равна нулю, задача для среды с упрочнением сводится к задаче для идеально пластической среды. Параметр упрочнения к равен пределу текучести на сдвиг

Интегрируя обе части уравнения (20.7) и используя начальное условие

получаем нелинейное уравнение Вольтерра второго рода:

где функция имеет вид

Уравнение (20.10) можно решать методом последовательных приближений. Можно показать, что подынтегральная функция ограничена и удовлетворяет условию Липшица; следовательно, процесс последовательных приближений сходится.

Рекуррентные формулы для решения уравнения (20.10) имеют вид

где

для сферических волн, для цилиндрических радиальных волн.

Эти решения в случае сферических волн справедливы при (рис. 69), где определяется из условия

При решение на волне сильного разрыва получается в замкнутом виде (в случае сферических волн):

В случае цилиндрических радиальных волн решение уравнения (20.10) действительно в пределах . В связи с этим некоторому изменению подвергается вид решения на координатной плоскости (рис. 69).

Рис. 69.

Так как точка на характеристике стремится к бесконечности, область вязкопластических деформаций получит вид, подобный случаю плоских волн (см. п. 15, рис. 53). Напряжение на волне монотонно убывает, достигая на бесконечности значения

В случае определяющих уравнений (3.13), когда функция —1) имеет вид (3.30) или ему эквивалентный

где функции определяемые на основании экспериментальных данных, можно дать следующие оценки для уравнения (20.10) в случае сферических волн. Полагая

где можно записать [46]

Тогда

где равно наименьшему из двух значений

В области вязкопластических деформаций (область I) решение строится численно методом сеток характеристик с использованием соотношения вдоль характеристик (20.4). Дифференциалы, входящие в эти формулы, заменяются конечными разностями. Рекуррентные формулы для приближенных значений параметров решения в точке (рис. 69) имеют следующий вид [10, 46]:

Символы означают положение точки в которой пересекаются характеристики: положительная, отрицательная и уравнение которой

Из этой системы разностных уравнений определяются приближенные дискретные значения искомых составляющих тензора напряжений, тензора деформаций и скоростей частиц Если пренебречь упрочнением материала (для определяющих уравнений (3.15)), эта система сводится к системе трех (в случае сферических волн) и четырех (в случае цилиндрических радиальных волн) уравнений, в которые не входят составляющие тензора деформаций

Область вязкопластических деформаций ограничена кривой являющейся «волной разгрузки». Эта кривая ограничивает область определения решения системы уравнений (20.17). Условием определения кривой служит уравнение где функция текучести материала, определяемая в общем случае формулой (3.1). Например, в случае определяющих уравнений (3.13) условие для определения кривой имеет вид

Здесь одновременно предполагается, что отрицательная характеристика, исходящая из точки (рис. 69), не пересекает кривой

В области ограниченной кривой и характеристиками: положительной, исходящей из точки и отрицательной, исходящей из точки (рис. 69) (в случае цилиндрических радиальных волн, ввиду того что точка находится в бесконечности, область II неограниченна, она соединяется с областью III), движение среды определяется следующей системой уравнений:

где соответственно интенсивность напряжения и интенсивность деформации на кривой В случае сферических волн эта система уравнений может быть сведена к уравнению второго порядка для перемещения

где

В случае цилиндрических радиальных волн систему уравнений (20.19) нельзя свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка, как это имело место для сферических волн.

В области II следует решать задачу Коши для уравнения (20.20) в случае сферических или для системы уравнений (20.19) в случае цилиндрических радиальных волн, используя данные на кривой определенные из решения в области Уравнение (20.20) решается так же, как в области методом конечных разностей вдоль сетки характеристик. При этом используются формулы (20.17), в которых полагается

В случае сферических волн в области ограниченной характеристикой и отрицательной характеристикой, исходящей из точки следует решать задачу Дарбу для уравнения (20.20). В случае цилиндрических радиальных волн область III исчезает. При в случае сферических волн функция входящая в правую часть уравнения (20.20), тождественно равна нулю. Это очевидно из физических соображений, так как при среда не испытывает вязкопластических деформаций.

Наконец, в области IV следует решать задачу Пикара для системы уравнений (20.19) с заданными граничными условиями: краевым условием при и значениями перемещений точек на положительной характеристике, исходящей из точки перемещения известны из решения в области II). В случае сферических волн решение в области IV можно найти в замкнутом виде. Решения для случая сферических волн были подробно рассмотрены в работах [46] и [10, 153]. Там же проведен подробный анализ численных решений поставленной задачи. Исследовано влияние упрочнения материала на поля напряжений и поля деформаций. Установлено (для числовых данных, относящихся к мягкой стали), что различие напряжений в случаях учета упрочнения материала и исключения упрочнения невелико (порядка 15-20%); оно значительно (порядка 40%) для деформаций

В работе [46] рассмотрена также задача об отражении сферической волны напряжения от жесткой преграды, концентричной сферической полости. Давление на границе полости радиуса подобрано так, чтобы волна отражения от жесткой преграды была также пластической волной. Решение на отраженной волне строится аналогично решению для падающей волны. Решения в остальных областях также не вносят новых качественных элементов. Установлено, однако, что влияние упрочнения материала в окрестности жесткой преграды более существенно, нежели в окрестности границы полости радиуса

Задача о распространении сферических волн в неоднородной упруго/вязкопластической среде была решена в работе [88]. В ней за исходный пункт приняты уравнения Фрейденталя; эти уравнения получаются как частный случай определяющих уравнений (3.25), если положить В них принято, что постоянные материала изменяются как функции радиуса Рассмотрена задача о возникновении волны слабого разрыва, а также волны сильного разрыва. Решение в областях вязкопластических деформаций построено численно с использованием метода сеток характеристик. На фронте волны сильного разрыва решение сводится к решению интегрального уравнения. Проводя дальнейшие упрощения и принимая в качестве отправных определяющие уравнения Гогенемзера и Прагера (уравнения (3.25)), в которых опущены упругие деформации как малые по отношению к неупругим деформациям и принята линейная форма функции релаксации, в [141] получено решение задачи о распространении волн напряжения сильного разрыва в замкнутом виде. Определена также форма волны упругой разгрузки для некоторого частного случая.

Задача о распространении цилиндрических волн в упруго/вязко-идеально пластической толстостенной трубе,

вызванных равномерно распределенными на обеих поверхностях нагрузками, была решена в работе [76]. Ограничимся рассмотрением волн сильного разрыва. Итак, краевые условия на обеих поверхностях трубы имеют вид

или

Если на одной из поверхностей трубы давление то имеет место случай отражения волн от свободной поверхности; если же случай отражения волн от закрепленной поверхности. Чтобы волны были волнами сильного разрыва, очевидно, должно быть в случае условия типа (20.21) или в случае условия типа (20.22).