2.3. Теория пластического течения

В случаях идеально пластического материала и материала с упрочнением рассмотрим уравнения теории пластического

течения, условие текучести и условия, характеризующие состояние среды: процесс нагрузки, разгрузки, нейтральное состояние.

Идеально пластический материал. В сложном напряженном состоянии текучесть материала определяется условием, представляющим в пространстве напряжений гладкую и выпуклую поверхность, называемую поверхностью текучести. Эта поверхность в каждой точке имеет однозначно определенную касательную плоскость.

Рис. 7.

Условие текучести можно записать в виде уравнения

где функция есть четная функция относительно и выбрана так, что условие определяет упругое состояние, а равенство состояние течения (рис. 7). Предполагается, что существует определенная в пространстве напряжений функция выполняющая роль потенциала. Обычно функция представляющая пластический потенциал, отождествляется с функцией представляющей условие текучести. Ввиду этого

где пластическая часть скорости деформации, параметр

Если то материал находится в состоянии пластического течения; о наличии приращений пластических деформаций судят по условию, является ли данное состояние состоянием нагружения или разгрузки:

состояние нагружения для идеально пластического материала имеет место, когда

состояние разгрузки, когда

Уравнения деформирования упруго-идеально пластических сред получаются путем добавления к (2.17) соотношений для скоростей упругих деформаций кроме того, учитывается тот факт, что пластические

деформации не влияют на изменение объема,

Принимая, в частности, условие текучести Губера — Мизеса

где предел текучести при чистом сдвиге, получаем уравнения

называемые уравнениями Прандтля — Рейсса; при этом параметр определяется как где мощность пластической деформации в единице объема элемента тела.

Упрочнение материала. Пусть для одноосного напряженного состояния график имеет вид, показанный на рис. 8, а.

Рис. 8.

В этом случае учитывается упрочнение материала. Чтобы перенести свойство упрочнения при нагружении на случай сложного напряженного состояния, вводится представление о существовании последовательности поверхностей нагружения в девятимерном пространстве напряжений (рис. 8, б). Последовательность поверхностей нагружения отвечает точкам на оси Эти поверхности могут быть симметричными и иметь ту же форму, что и начальная поверхность текучести. Тогда в процессе нагружения происходит изотропное расширение поверхности текучести, так называемое изотропное упрочнение. Изменениям напряженного состояния вдоль путей отвечают процессы разгрузки, тогда как изменениям вдоль путей

отвечают нейтральные состояния (когда не происходит никакого изменения пластических деформаций).

В общем случае условие текучести для материала, обладающего упрочнением, можно записать в виде

где k — параметр упрочнения, определяемый через работу пластических деформаций:

Определенный таким образом параметр к не влияет на вид поверхности нагружения в процессе пластического деформирования. Увеличение его значения вызывает постепенное расширение поверхности нагружения. Для материала, который еще не обнаруживает пластических деформаций, очевидно,

Процессы активного нагружения при переходе от одного пластического состояния к другому сопровождаются увеличением пластической деформации, тогда

В процессе разгрузки не происходит роста пластических деформаций; следовательно, и условие разгрузки имеет вид

Нейтральное состояние характеризуется условием

Все эти условия справедливы только в случае устойчивых материалов.

В дальнейшем условие текучести для упрочняющихся материалов примем в виде

Уравнения деформирования имеют следующий вид:

(вытекают из предположения, что направление вектора скорости деформации ортогонально к поверхности нагружения и не

зависит от направления вектора скорости изменения напряжения здесь X — неотрицательная функция, определенная как

отсюда ввиду (2.25) следует, поскольку в процессе нагрузки числитель выражения (2.29) положителен, что

В общем случае соотношения, описывающие изотропное упрочнение материала, можно записать в виде [131]

где

здесь введено обозначение Тензор имеет вид

Функция в соотношениях (2.31) есть скалярная функция, которая может зависеть как от действующего напряженного состояния, так и от истории нагружения