Глава III. ОДНОМЕРНЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

10. Распространение продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне

Рассмотрим процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой неубывающей во времени (т. е. . Проведем решение в лагранжевой системе координат: за ось х возьмем ось стержня, начало координат выберем на левом конце стержня. Предположим, что в процессе деформации не происходит бокового выпучивания стержня и что влияние по- 1 перечных деформаций стержня на процесс распространения продольных волн пренебрежимо мало. Рассмотрим малые деформации стержня и будем предполагать, что плотность стержня в процессе деформирования не изменяется. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет отличными от нуля составляющие тензора деформаций будут

Рис. 22.

В этом случае уравнение движения (5.5) без учета массовых внешних сил приобретает вид

Принимая определяющие соотношения деформационной теории пластичности в виде (5.5), для одноосного напряженного состояния имеем

Примем сперва, что есть монотонно возрастающая по функция (рис. 22) и что для всех производная есть монотонно убывающая функция (т. е. ). Если монотонно возрастает, то в стержне возникают

ударные волны; этот случай будет рассмотрен в разд. 13. Для напряжений ( - предел текучести) зависимость согласно закону Гука, линейна:

где модуль упругости.

Из уравнений сплошности (5,21) в случае малых деформаций получим соотношение

Учитывая зависимость при нагружении и вводя обозначение

где тангенс угла наклона касательной к кривой имеем

Подставляя соотношение (10.4) в (10.6), получим систему двух уравнений с частными производными первого порядка

для двух функций

Система уравнений (10.7) эквивалентна уравнению второго порядка для перемещения учитывая, что получим

В этом уравнении есть скорость распространения продольных волн в стержне.

Так как скорость распространения волн в общем случае есть функция напряжения, система уравнений (10.7) является системой квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Определим для нее характеристики и соотношения на характеристиках. Для системы уравнений (10.7) матрицы уравнения (9.18) имеют вид

В силу условия (см. гл. I)

характеристические направления выражаются в следующем виде:

Поскольку характеристики системы уравнений (10.7) определятся путем интегрирования дифференциальных уравнений характеристик:

Эти уравнения в общем случае не удается проинтегрировать в плоскости до того, как решена задача, так как а есть функция напряжения

На характеристиках должны выполняться соотношения (9.17), которым отвечает уравнение

Из уравнения (9.12) получаем

Следовательно, вдоль характеристик выполняются соотношения

Эти соотношения носят название дифференциальных уравнений характеристик в плоскости годографа После интегрирования получим

Таким образом, используя метод характеристик, можно заменить систему квазилинейных уравнений первого порядка с частными производными эквивалентной ей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (10.11) вдоль характеристик.

Рассмотрим теперь простейший случай распространения волн нагружения в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.

Определим решение уравнения (10.8) при заданных начальных условиях (условиях Коши):

и краевом условии

причем, чтобы обеспечить процесс нагрузки, должно быть .

Начальные условия (10.13) означают, что в начальный момент стержень находится в недеформированном состоянии и состоянии покоя. Удовлетворение начальным условиям (10.13) связано с решением задачи Коши в области I (рис. 23), ограниченной осью х и положительной характеристикой

Рис. 23.

Проведя из произвольной точки области I положительную и отрицательную характеристики до пересечения с осью получим из уравнений (10.12)

где в силу начальных условий (10.13). Из (10.15) вытекает, что в области где скорость распространения упругой продольной волны в стержне. Таким образом, область ограничена сверху характеристикой уравнение которой Определим теперь решение за фронтом волны за которым уже проявляется действие краевого условия. Вдоль отрицательных характеристик для имеем соотношение

а так как эти характеристики берут начало на характеристике на которой то Далее, используя соотношения на положительных характеристиках, получим

вдоль этих характеристик для области Таким образом, вдоль каждой положительной характеристики в области II напряжение а, скорость материальных частиц и деформация имеют те же самые значения, что и в начале стержня в момент времени, соответствующий данной характеристике. Ввиду того что скорость распространения волн есть функция напряжения (либо деформации), постоянного вдоль характеристик, положительные характеристики являются прямыми линиями. Их уравнение имеет вид

Если, например, сжимающее напряжение на конце стержня в момент достигает значения то в точке, удаленной на расстояние х от конца стержня, напряжение достигает значения в момент

На фронте волны напряжение постоянно и равно Такие волны называются волнами Римана.

Напряжение на конце стержня, возрастая во времени (рис. 23), достигает в момент значения соответствующего пределу текучести. Разделим область II на координатной плоскости на две области и . В области имеет место упругое состояние; в ней распространяются волны Римана с постоянными скоростями, равными так как в соответствии с принятой зависимостью (рис. 22) при . В области скорость волн Римана переменна; она зависит от значения давления на конце стержня т. е. от значения давления в момент в который волна начинает распространяться. Благодаря принятой зависимости скорость последующих во времени волн Римана будет убывать. По мере удаления возмущения от конца стержня начальная область напряжения (на конце подвергается «размыванию» во времени. Зная значения напряжений, скоростей и деформаций вдоль положительных характеристик вдоль можно легко определить напряжение, скорость и деформацию в произвольном сечении стержня х в момент

Рассмотрим некоторые характерные случаи распространения волн нагружения в упругопластическом однородном полубесконечном стержне.

Рассмотрим сначала случай распространения волн в первоначально невозмущенном стержне, для которого зависимость представлена на рис. 22, причем Пусть на конце задано давление монотонно возрастающее во

времени до значения а затем при принимающее постоянное значение, равное . В координатной плоскости решение будет следующим. В силу однородности начальных условий, область остается невозмущенной. В области II распространяется упругая волна; напряжение в этой области равно о Характеристика ограничивает область III, в которой имеет место пластическое состояние (в ней распространяются волны Римана). Наконец, область IV есть также область пластических деформаций; напряжение в ней в силу заданного краевого условия постоянно и равно

Рис. 24.

Выполняя предельный переход при получаем случай внезапного нагружения конца стержня постоянным давлением Область решения представлена на рис. 25. Предельный переход выполним в два этапа, а именно сначала устремим время к нулю, что приведет к исчезновению области II; на характеристике (рис. 25) напряжение будет равно т. е. эта волна будет теперь волной сильного разрыва. Затем выполним переход при , что в свою очередь приведет к сужению области III на рис. 24 до треугольной области, заключенной между характеристиками (рис. 25). Область IV остается, очевидно, без изменения.

Если принять, что в зависимости (рис. 22) отсутствует предел текучести, т. е. положить (такой моделью можно аппроксимировать, например, сухой песчаный грунт), то в случае задачи, представленной на рис. 24, необходимо сделать предельный переход при Тогда области II и III сольются в

единую область, в которой волны Римана будут распространяться с переменными скоростями (убывающими с ростом напряжения).

Рис. 25.

В случае внезапного нагружения (рис. 25) после предельного перехода при получим такое же решение, как на рис. 26. В этом случае волна сильного разрыва не возникает.

Рис. 26

С наибольшей скоростью распространяется волна где на которой напряжение равно нулю. За нею распространяются волны с меньшими скоростями,

несущие на своих фронтах все большие напряжения — область II. Наконец, при распространяются волны с постоянным значением напряжений, равным (область III). В этом случае давление, внезапно приложенное к концу стержня, во всех остальных сечениях нарастает плавно от нуля до максимального значения причем градиент нарастания убывает по мере удаления от конца Это изменение напряжения во времени в сечении представлено на рис. 26.

Очень часто принимается некоторая аппроксимация действительного графика представленного на рис. 22. А именно, криволинейный участок аппроксимируется отрезком прямой (рис. 27,б).

Рис. 27.

Для такой модели в процессе нагрузки возникает скачкообразное изменение скорости распространения волн при изменении нагрузки: при о как и прежде, при имеем модуль линейного упрочнения материала. Для стали для сухих грунтов

Принятие билинейной функции приводит к изменению области волнового решения на координатной плоскости. Рассмотрим сначала случай, когда переход с упругого участка графика на участок упрочнения совершается плавно по дуге есть непрерывная функция для всех значений ) (рис. 27, а). В случае такой зависимости решение для монотонно возрастающего во времени давления представлено на рис. 28, а. Отличие по сравнению со случаем, представленным на рис. 23, заключается в том, что в области IV возмущение распространяется с постоянной скоростью Если теперь точка на графике (рис. 27, а) стремится к точке А, т. е. когда то в области III напряжение стремится к постоянному значению Этот случай для билинейной зависимости (см. рис. 27, б) показан на рис. 28, б.

Рис. 28. (см. скан)