14. Распространение плоских волн напряжений в упругопластической среде с жесткой разгрузкой

Рассмотрим однородный полубесконечный стержень с постоянным поперечным сечением, для которого зависимость представлена на рис. 41, при этом первоначально примем, что на участке нагружения т. е. исключаем возможность возникновения ударной волны; разгрузка же происходит при постоянной деформации.

Рис. 41.

Рис. 42.

На конце предположим условие вида (11.1) (рис. 42). При этом краевом условии и в случае зависимости показанной на рис. 41, в координатной плоскости распространяется только волна слабого разрыва. Волна разгрузки (рис. 42) делит

координатную плоскость на две области: область нагружения и область разгрузки Аналогично случаю упругой разгрузки (разд. 11) задача сводится к определению формы волны и определению на ней напряжения и скорости. В области происходит процесс нагружения, рассмотренный подробно в разд. 10. В этой области распространяются волны Римана. Прямые, уравнения которых имеют вид

где время, отсчитываемое по оси являются положительными характеристиками, вдоль которых напряжение о и скорость постоянны.

В этой области имеем (см. (10.11))

Выведем теперь соотношения, описывающие процесс разгрузки. Уравнения равновесия (10.1) и условие сплошности

действительны для произвольной зависимости а следовательно, и для жесткой разгрузки. Так как в области разгрузки деформации постоянны в каждом сечении х (т. е. в ), то из условия сплошности получаем

Таким образом, в зоне разгрузки участок стержня (рис. 42) является идеально жестким телом; в нем скорость частиц не зависит от х и в поперечном сечении стержня в данный момент постоянна [52, 145].

После интегрирования по переменной х и использования краевого условия (11.1) уравнение равновесия примет вид

Предполагая непрерывность скорости и напряжений на волне разгрузки, можем написать

где индексами 1 и 2 обозначены величины соответственно со стороны области Имея в виду, что из (14.6) получим

Обозначим напряжение и скорость на волне разгрузки как тогда

Подставляя (14.8) в (14.5) и учитывая, что получаем

где координаты точки Используя уравнение характеристики (14.1), проходящей через точку и заменяя на получаем из (14.9) дифференциальное уравнение для

с начальным условием

Уравнение (14.10) можно свести к виду

Интегрируя это уравнение в пределах от до получаем

или

Вводя обозначение

получим

Так как и функция возрастает монотонно, то

и из (14.14) и (14.16) получим оценки

В силу первого из этих неравенств, можно записать

Так как монотонно убывающая функция времени, то следовательно, в силу (14.10), монотонно убывает во времени и стремится к нулю, если На основе (14.16) и с учетом (14.13) имеем

отсюда

В работе [145] определенны также асимптота волны разгрузки и начальная скорость волны разгрузки. Распределение давления в окрестности точки ( предполагается в виде

где известны, неизвестный коэффициент. Подставляя эти представления в (14.10) и совершая предельный переход при предполагая при этом, что получаем

Уравнение касательной к волне в точке имеет вид

Для некоторых видов нагрузки и упрощенной зависимости в области разгрузки решение задачи о распространении волны разгрузки можно найти в замкнутом виде; в ином случае, разрешив уравнение относительно производной уравнения задачи можно свести к интегральным уравнениям. Путем последовательных итераций определится волна разгрузки, а затем напряжение, скорость и деформация в каждой из областей координатной плоскости.

Рассмотрим случай, когда среда описывается в процессе нагружения моделью Прандтля, а при разгрузке будет (рис. 43); положйм, что нагрузка изменяется по линейному закону: . В области распространяются сначала упругие волны, за ними следуют пластические волны Римана также постоянными скоростями на которых напряжение определится как

Рис. 43

На волне разгрузки должны быть выполнены условия непрерывности для напряжения и скорости, следовательно,

Вычисляя производную и подставляя уравнение в (14.5), при получаем

После интегрирования и определения постоянных интегрирования из условия и условия непрерывности на волне разгрузки при получаем уравнение волны разгрузки в виде

Задавая конкретный вид изменения нагрузки из мул (14.27) определим волну разгрузки . В области разгрузки скорость равна скорости на волне разгрузки, следовательно, ее можно найти из формулы Напряжение же определим из уравнения (14.5). Для времени в формуле (14.5), очевидно, следует принять Деформация на волне разгрузки определится непосредственно из соотношения в рассматриваемом случае моделью Прандтля (рис. 43).

Полагая, например, что давление изменяется также линейно, из (14.27) получаем

В предположении линейного изменения давлений и в случае модели Прандтля первый отрезок волны разгрузки будет прямой линией (при

Зная форму волны разгрузки, можно определить напряжение и скорость на фронте волны разгрузки из формул (14.25):

Напряжение в области находится из уравнения движения (14.5), в котором исключается дифференцированием по времени скорости определенной согласно (14.29) и

Деформацию в области разгрузки определим при помощи модели Прандтля (рис. 43):

Рассмотрим теперь случай, когда к концу стержня, поведение которого описывается моделью Прандтля (рис. 43), нагрузка приложена внезапно и затем монотонно убывает во времени (рис. 44). Аналогично случаю волны разгрузки для модели Прандтля с упругой разгрузкой, можно показать, что волна разгрузки совпадает с характеристикой, уравнение которой (формула (11.21)), и является волной сильного разрыва. Решение в координатной плоскости представлено на рис. 45.

Рис. 44.

В невозмущенной среде сначала распространяется упругая волна, она совпадает с характеристикой на которой напряжение равно за этой волной следует фронт волны сильного разрыва — волны разгрузки . В области имеем На волне разгрузки должно быть выполнено условие динамической непрерывности (11.25) в следующем виде:

где индексом нуль обозначены значения на волне разгрузки.

Используя (14.33), из уравнения движения (14.5) на волне разгрузки получим

Интегрируя это уравнение при начальном условии

получим напряжение на волне разгрузки в виде

здесь принято, что при

Рис. 45.

Скорость на волне разгрузки получим непосредственно из (14.33) в виде

Напряжение в области разгрузки определяется из уравнения (14.25) с учетом того, что следовательно,

Деформация в области разгрузки в случае модели Прандтля равна

Легко видеть, что на волне разгрузки, согласно (14.35) и (14.38), напряжение и деформация убывают вдоль волны. Конец волны разгрузки определяется из условия

Таким образом, на отрезке стержень деформируется пластически. Для в полубесконечном стержне распространяются только упругие волны.

Приведенные выше решения для волны сильного разрыва получаются также из ранее полученных решений для волны слабого разрыва (рис. 42), если в них сделать предельный переход при При волна разгрузки, согласно формулам (14.28), станет прямой с уравнением а из решений на волне разгрузки и решений в области разгрузки [формулы (14.29) — (14.32)] получим решения (14.35) — (14.38).

Сравнивая значения напряжений (14.35) на волне разгрузки для случая модели Прандтля с жесткой разгрузкой при линейном изменении давления на конце стержня со значениями напряжений (11.24), полученными для подобной задачи только для случая упругой разгрузки (рис. 32), можно убедиться [28], что разница между ними незначительна. На рис. 44 представлены значения напряжений на волне разгрузки, подсчитанные в обоих случаях для коэффициента Разница между двумя результатами не превышает 10%. Расходимость результатов заметно уменьшается с ростом коэффициента например, при не превышает 1%.

До сих пор в разд. 14 рассматривались только задачи о распространении волн в полубесконечном стержне. Перейдем теперь к решению задач о распространении волн в ограниченном стержне. По-прежнему будем полагать, что стержень изготовлен из упругопластического материала с жесткой разгрузкой. Здесь задача об отражении волн слабого разрыва от конца стержня также является довольно сложной; ограничимся только случаями волн сильного разрыва. Дальнейшее упрощение задачи отражения имеет место в случае, когда фронт волны сильного разрыва является одновременно волной разгрузки. В этом случае к концу стержня первой приходит волна разгрузки и она

испытывает отражение. Такой случай имеет место тогда, когда предполагается, что для данного материала

Рассмотрим случай распространения плоской волны разгрузки сильного разрыва в слоистой среде, причем на границе сред находится недеформирующаяся масса (рис. 46).

Рис. 46.

Волна разгрузки, падая на массу подвергается отражению от нее; одновременно волны начинают распространяться в другой среде. Предположим, что первая среда находится в пластическом состоянии; соотношение примем согласно рис. 47, процесс нагружения совершается по прямой а разгрузка происходит при постоянной деформации. Вторая среда предполагается идеально упругой. Обе среды имеют разные плотности. Положим, кроме того, что давление на конце прикладывается внезапно и затем монотонно убывает во времени, т. е. примем краевое условие вида Эта задача была решена в работе [53]. Решение на координатной плоскости представлено на рис. 46. В области I решение получается из ранее рассмотренной задачи (формулы (14.35) - (14.38), если принять

Рис. 47.

здесь индекс 1 означает, что решение относится к области (рис. 46), и

В момент отражения фронта падающей волны от массы происходит повышение напряжений. Из условия (12.8) вытекает, что если напряжение на фронте падающей волны равно во, то в момент отражения волны от массы напряжение на фронте отраженной волны равно Отраженная волна с уравнением также будет волной сильного разрыва, которая распространяется в среде, деформированной падающей волной. В фиксированном сечении среда была деформирована по пути (рис. 47). Увеличение напряжения может произойти сначала по линии до значения во (при постоянной деформации), т. е. до значения, которое было в среде до разгрузки, лишь затем происходит рост напряжения по линии с одновременным ростом деформации. Следовательно, напряжение перед фронтом отраженной волны в фиксированном сечении х должно возрасти до значения затем на фронте волны возрастет до значения и будет убывать за фронтом волны. Можно показать, что отраженная волна с уравнением есть волна разгрузки.

Займемся решением в области II. Для фиксированного момента среда является идеально жесткой, процесс изменения напряжения совершается по прямой без изменения деформации; скорость есть функция только времени. Уравнение равновесия имеет вид (14.5), т. е.

Так как в фиксированном сечении х перед фронтом отраженной волны

напряжение достигает значения во то на основании (14.39) имеем

Из уравнения (14.40) с учетом (14.42) при получим

а после интегрирования

где постоянная интегрирования С определяется из начального условия при

или

Распределение напряжений в области 11 определяется из уравнения (14.40) путем исключения в нем при помощи уравнения (14.43):

Деформация будет такой же, как и в области т. е.

Перейдем теперь к решению в области III. Полагая, что среда II является упругой и что скорость распространения волн в этой среде равна уравнение движения (10.8) в этой области можно представить в виде

где Общее решение (14.48) имеет вид

Функции определяются из краевых условий для и из условия на характеристике эквивалентного

начальному условию при

где напряжение, действующее на массу со стороны упругой среды. Условие вытекает из того факта, что масса не может быть внезапно приведена в движение силой конечной величины. Волна, уравнение которой представляет собой волну слабого разрыва. Из условия получим, Далее, из условия имеем

Исходя из начального условия определим постоянную :

Полагая из (14.51) получаем

Полагая затем имеем

Скорость в области III можно определить следующим соотношением:

напряжение на контакте сред найдем из условия (12.19) согласованности движения обеих сред.

Можно доказать, что в области IV происходит процесс разгрузки. Из уравнения (14.3), учитывая, что при разгрузке в области IV получим уравнение динамического равновесия

где постоянная интегрирования определяется из условия, что на отраженной волне напряжение а равно так что

Отсюда при получим

где реакция массы со стороны области Учитывая, что имеем

Используя условие (12.14) и условие непрерывности скоростей (12.13), получаем следующее уравнение:

Из условия динамической непрерывности (12.2) на фронте отраженной волны получим

где известные функции времени, определенные формулами (14.42) и (14.45). Подставляя (14.58) в уравнение (14.57) и вводя обозначения

получаем для функции следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

Решение этого уравнения имеет вид

где постоянная интегрирования определена из условия

На основании (14.53) и (14.55) напряжения примут вид

Формулы (14.61) справедливы при (предполагается, что где — время, при котором отраженная волна разгрузки исчезнет, т. е. при котором будет выполняться условие

В области V уравнение динамического равновесия (14.5) имеет вид

Отсюда при

Используя условие равновесия сил, приложенных к массе (см. 12.14):

и уравнение

получаем из (14.63) следующее дифференциальное уравнение для скорости

где

Решение уравнения (14.65) имеет вид

где постоянная интегрирования определена из условия при Наконец, напряжения примут

следующий вид:

Решение в области VI получим, полагая в уравнении (14.65).

Деформации в каждой из областей выражаются в следующем виде:

На рис. 48 представлен график напряжения реакции, действующей на массу со стороны области I [53], в случае линейного изменения давления на конце стержня - кривая 1. В случае отсутствия на границе сред массы (среда II является упругой), полагая в (14.57) находим решение для слоистой среды, являющееся частным случаем решения, полученного в работе С. Калисского [42]. Решения в областях останутся теми же, изменятся решения в областях IV, V и VI, где следует положить

В свою очередь совершая в этих решениях предельный переход при получаем решения для случая отражения плоской волны разгрузки от жесткой преграды. При этом имеем

а следовательно, на основании (14.60)

Из уравнений динамического равновесия (14.54) следует, что напряжение есть функция только времени Используя условие динамической непрерывности (14.58), получаем следующее решение:

Легко убедиться, что напряжение есть убывающая функция времени; следовательно, область IV действительно будет областью разгрузки.

Рис. 48,

На фронте отраженной волны разрыв напряжения исчезает с ростом времени из формулы (14.58) имеем сто где скорость определенная формулой (14.45), есть убывающая функция времени. В этом случае условием определения конца отраженной волны разгрузки (14.62) является условие . С этого момента устанавливается движение стержня как жесткого тела Из (14.63) вытекает равенство при следовательно, происходит скачкообразное выравнивание напряжений до значения . В области V на основании (14.67) имеем . В области VI, очевидно,

На рис. 48 кривая 2 представляет изменение напряжения при со стороны области в случае, когда в случае отражения волны разгрузки от жесткой преграды [53]. Время соответствует времени, при котором исчезает отраженная волна разгрузки сильного разрыва. В начальный момент величина напряжения совпадает с напряжением для случая отражения волны разгрузки как от жесткой, так и от упругой преград. Это следует также из сравнения формул (12.8) и (12.11). В обоих случаях эти напряжения затем убывают (однако значительно быстрее в случае упругого закрепления). Градиент убывания напряжений тем больше, чем меньше масса и чем более податлива среда II за массой

Рассмотрим в заключение два случая распространения плоских ударных волн в полубесконечном стержне при жесткой разгрузке [47, 119].

Рис. 49.

Динамическую характеристику грунтов для больших значений давления (см. разд. 4, рис. 16) приближенно можно аппроксимировать моделью, представленной на рис. 49, б, в. В случае больших давлений можно принять, что предел текучести грунта равен нулю. Действительную кривую OBAD на рис. 49, а можно заменить кривой ОА (рис. 49,б) или же прямой ОА (рис. 49, в). При значениях напряжения а, больших а, процесс нагрузки происходит при постоянной деформации а в процессе разгрузки при 0 а а.

Считаем, что давление на конце стержня приложено внезапно, затем убывает во времени монотонно и что Случай ртах для линейного изменения (рис. 49, в) был рассмотрен ранее. В полубесконечном стержне распространяется волна сильного разрыва (ее уравнение которая одновременно является волной разгрузки. Решение для этого случая представлено формулами (14.39). Для данного случая рассмотрен также волновой процесс в слоистой среде с жесткой массой на границе сред.

Согласно принятому выше предположению относительно нагрузки, от конца полубесконечного стержня начнет

распространяться ударная волна, уравнение которой представлено на рис. 50. Эта волна одновременно будет волной разгрузки. Ее форму определим, исходя из уравнений динамического равновесия (14.5) и условий динамической и кинематической непрерывности (13.17), в которых примем

Рис. 50.

Учитывая, что из системы уравнений (14.71) получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для

где Это уравнение можно преобразовать к виду

из которого после двукратного интегрирования с учетом начальных условий

получим искомое уравнение ударной волны

После простых преобразований из формул (14.71) получим решение в области разгрузки в виде

Напряжение на волне разгрузки, определенное из (14.76), убывает во времени. В момент (рис. 50) оно достигнет значения

Рис. 51.

При в случае зависимости показанной на рис. 49, в, решение получается в замкнутом виде, а в случае зависимости, представленной на рис. 49, б, решение приходится строить численно.

Решение, представленное выше, можно легко распространить на случай отражения волн в ограниченном стержне при произвольных краевых условиях на конце . В случае отражения ударной волны от жесткой преграды, в силу условия на

закрепленном конце стержня решение отвечает стабилизации перемещений и скачкообразному выравниванию напряжений.

Рассмотрим теперь аналогичным образом задачу о распространении плоской ударной волны для более общего случая [119]. Примем, что зависимость для грунтов в области средних давлений (пунктирная линия на рис. 51, а) аппроксимируется прямыми линиями, как это показано на том же рисунке (сплошная линия). Кроме того, рассмотрим случай, когда на конце давление монотонно возрастает от нуля при а затем монотонно убывает до нуля.

Рис. 52.

Решение на плоскости будет иметь следующий вид (рис. 52). При стержень будет упругим, следовательно, . В области установится такое состояние: . В области ограниченной характеристикой и осью распространяются волны Римана со скоростью . В этой области имеем

Когда в момент давление на конце достигнет значения из точки ( начнет распространяться

ударная волна На ее фронте деформация постоянна и равна В областях III, IV, V деформация Форма ударной волны определится аналогично рассмотренному ранее случаю из уравнений (14.71); однако в условиях динамической и кинематической непрерывности необходимо учесть тот факт, что волна разгрузки будет распространяться в возмущенной среде. Следовательно, уравнения задачи для области III имеют вид

Учитывая (14.77), из (14.78) получим для обыкновенное дифференциальное уравнение для определения первого отрезка фронта ударной волны:

с начальными условиями

Так как в общем случае (14.79) является нелинейным уравнением, его приходится решать численно. Зная форму ударной волны при в области III можно определить В области IV деформация Ударную волну при определим при помощи уравнений

учитывая при этом начальные условия и непрерывность функции и ее первой производной при

Вводя функции

получаем

где

Решение в области V проводится так же, как в области IV. Краевое условие требует, чтобы в этой области на фронте ударной волны напряжение было убывающей функцией времени. Время определяется из условия Предположим для простоты, что

Используя условие непрерывности на фронте ударной волны, в области VII получим

Так как

Следовательно,

Далее, так как то

Из уравнения динамического равновесия

используя (14.84) и (14.87), получим дифференциальное уравнение

из которого при начальном условии находим

где

Напряжения в областях VI и VII выражаются в виде

а деформации в виде

Точка на ударной волне соответствует точке А на рис. 51,а. При (области ) имеем

На прямой происходит скачкообразное выравнивание напряжения до значения, заданного на конце

В работе [118] рассмотрена задача о распространении плоских ударных волн нагружения в случае криволинейной диаграммы деформирования материала. Принято следующее соотношение для процесса нагружения:

где функция класса относительно , удовлетворяющая следующим условиям: Функция представлена на рис. 51, б.

Для процесса разгрузки, как и прежде, принято при и всех где максимальные деформация и напряжение, достигаемые в сечении а: в процессе нагружения.

При названных предположениях рассмотрена задача о внезапно приложенном к концу полубесконечного стержня давлении, которое затем монотонно убывает во времени. Решение получено в замкнутой форме.