Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 14. Распространение плоских волн напряжений в упругопластической среде с жесткой разгрузкойРассмотрим однородный полубесконечный стержень с постоянным поперечным сечением, для которого зависимость
Рис. 41.
Рис. 42. На конце координатную плоскость
где В этой области имеем (см. (10.11))
Выведем теперь соотношения, описывающие процесс разгрузки. Уравнения равновесия (10.1) и условие сплошности
действительны для произвольной зависимости
Таким образом, в зоне разгрузки участок стержня После интегрирования по переменной х и использования краевого условия (11.1) уравнение равновесия примет вид
Предполагая непрерывность скорости и напряжений на волне разгрузки, можем написать
где индексами 1 и 2 обозначены величины соответственно со стороны области
Обозначим напряжение и скорость на волне разгрузки как
Подставляя (14.8) в (14.5) и учитывая, что
где
с начальным условием
Уравнение (14.10) можно свести к виду
Интегрируя это уравнение в пределах от
или
Вводя обозначение
получим
Так как
и из (14.14) и (14.16) получим оценки
В силу первого из этих неравенств, можно записать
Так как
отсюда
В работе [145] определенны также асимптота волны разгрузки и начальная скорость волны разгрузки. Распределение давления
где
Уравнение касательной к волне в точке
Для некоторых видов нагрузки Рассмотрим случай, когда среда описывается в процессе нагружения моделью Прандтля, а при разгрузке будет
Рис. 43 На волне разгрузки
Вычисляя производную
После интегрирования и определения постоянных интегрирования из условия
Задавая конкретный вид изменения нагрузки Полагая, например, что давление
В предположении линейного изменения давлений Зная форму волны разгрузки, можно определить напряжение и скорость на фронте волны разгрузки из формул (14.25):
Напряжение в области
Деформацию
Рассмотрим теперь случай, когда к концу стержня, поведение которого описывается моделью Прандтля (рис. 43), нагрузка приложена внезапно и затем монотонно убывает во времени (рис. 44). Аналогично случаю волны разгрузки для модели Прандтля с упругой разгрузкой, можно показать, что волна разгрузки совпадает с характеристикой, уравнение которой
Рис. 44. В невозмущенной среде сначала распространяется упругая волна, она совпадает с характеристикой
где индексом нуль обозначены значения на волне разгрузки. Используя (14.33), из уравнения движения (14.5) на волне разгрузки
Интегрируя это уравнение при начальном условии
получим напряжение на волне разгрузки в виде
здесь принято, что
Рис. 45. Скорость
Напряжение в области разгрузки определяется из уравнения (14.25) с учетом того, что
Деформация в области разгрузки в случае модели Прандтля равна
Легко видеть, что на волне разгрузки, согласно (14.35) и (14.38), напряжение и деформация убывают вдоль волны. Конец волны разгрузки определяется из условия
Таким образом, на отрезке Приведенные выше решения для волны сильного разрыва получаются также из ранее полученных решений для волны слабого разрыва (рис. 42), если в них сделать предельный переход при Сравнивая значения напряжений (14.35) на волне разгрузки для случая модели Прандтля с жесткой разгрузкой при линейном изменении давления на конце стержня До сих пор в разд. 14 рассматривались только задачи о распространении волн в полубесконечном стержне. Перейдем теперь к решению задач о распространении волн в ограниченном стержне. По-прежнему будем полагать, что стержень изготовлен из упругопластического материала с жесткой разгрузкой. Здесь задача об отражении волн слабого разрыва от конца стержня также является довольно сложной; ограничимся только случаями волн сильного разрыва. Дальнейшее упрощение задачи отражения имеет место в случае, когда фронт волны сильного разрыва является одновременно волной разгрузки. В этом случае к концу стержня первой приходит волна разгрузки и она испытывает отражение. Такой случай имеет место тогда, когда предполагается, что для данного материала Рассмотрим случай распространения плоской волны разгрузки сильного разрыва в слоистой среде, причем на границе сред находится недеформирующаяся масса
Рис. 46. Волна разгрузки, падая на массу
Рис. 47.
здесь индекс 1 означает, что решение относится к области В момент отражения фронта падающей волны от массы Займемся решением в области II. Для фиксированного момента
Так как в фиксированном сечении х перед фронтом отраженной волны
напряжение достигает значения во
Из уравнения (14.40) с учетом (14.42) при
а после интегрирования
где постоянная интегрирования С определяется из начального условия при
или
Распределение напряжений в области 11 определяется из уравнения (14.40) путем исключения в нем
Деформация будет такой же, как и в области
Перейдем теперь к решению в области III. Полагая, что среда II является упругой и что скорость распространения волн в этой среде равна
где
Функции начальному условию при
где
Исходя из начального условия
Полагая
Полагая затем
Скорость
напряжение Можно доказать, что в области IV происходит процесс разгрузки. Из уравнения (14.3), учитывая, что при разгрузке
где постоянная интегрирования определяется из условия, что на отраженной волне
Отсюда при
где
Используя условие (12.14) и условие непрерывности скоростей (12.13), получаем следующее уравнение:
Из условия динамической непрерывности (12.2) на фронте отраженной волны
где
получаем для функции
Решение этого уравнения имеет вид
где постоянная интегрирования определена из условия На основании (14.53) и (14.55) напряжения
Формулы (14.61) справедливы при
В области V уравнение динамического равновесия (14.5) имеет вид
Отсюда при
Используя условие равновесия сил, приложенных к массе
и уравнение
получаем из (14.63) следующее дифференциальное уравнение для скорости
где
Решение уравнения (14.65) имеет вид
где постоянная интегрирования определена из условия следующий вид:
Решение в области VI получим, полагая Деформации в каждой из областей выражаются в следующем виде:
На рис. 48 представлен график напряжения
В свою очередь совершая в этих решениях предельный переход при
Из уравнений динамического равновесия (14.54) следует, что напряжение есть функция только времени
Легко убедиться, что напряжение
Рис. 48, На фронте отраженной волны разрыв напряжения исчезает с ростом времени На рис. 48 кривая 2 представляет изменение напряжения при Рассмотрим в заключение два случая распространения плоских ударных волн в полубесконечном стержне при жесткой разгрузке [47, 119].
Рис. 49. Динамическую характеристику грунтов для больших значений давления (см. разд. 4, рис. 16) приближенно можно аппроксимировать моделью, представленной на рис. 49, б, в. В случае больших давлений можно принять, что предел текучести грунта равен нулю. Действительную кривую OBAD на рис. 49, а можно заменить кривой ОА (рис. 49,б) или же прямой ОА (рис. 49, в). При значениях напряжения а, больших а, процесс нагрузки происходит при постоянной деформации Считаем, что давление на конце стержня приложено внезапно, затем убывает во времени монотонно и что Согласно принятому выше предположению относительно нагрузки, от конца полубесконечного стержня начнет распространяться ударная волна, уравнение которой представлено на рис. 50. Эта волна одновременно будет волной разгрузки. Ее форму определим, исходя из уравнений динамического равновесия (14.5) и условий динамической и кинематической непрерывности (13.17), в которых примем
Рис. 50. Учитывая, что
где
из которого после двукратного интегрирования с учетом начальных условий
получим искомое уравнение ударной волны
После простых преобразований из формул (14.71) получим решение в области разгрузки в виде
Напряжение на волне разгрузки, определенное из (14.76), убывает во времени. В момент
Рис. 51. При Решение, представленное выше, можно легко распространить на случай отражения волн в ограниченном стержне при произвольных краевых условиях на конце закрепленном конце стержня Рассмотрим теперь аналогичным образом задачу о распространении плоской ударной волны для более общего случая [119]. Примем, что зависимость
Рис. 52. Решение на плоскости
Когда в момент ударная волна
Учитывая (14.77), из (14.78) получим для
с начальными условиями
Так как в общем случае (14.79) является нелинейным уравнением, его приходится решать численно. Зная форму ударной волны
учитывая при этом начальные условия и непрерывность функции Вводя функции
получаем
где
Решение в области V проводится так же, как в области IV. Краевое условие требует, чтобы в этой области на фронте ударной волны напряжение было убывающей функцией времени. Время Используя условие непрерывности на фронте ударной волны, в области VII получим
Так как
Следовательно,
Далее, так как
Из уравнения динамического равновесия
используя (14.84) и (14.87), получим дифференциальное уравнение
из которого при начальном условии
где
Напряжения в областях VI и VII выражаются в виде
а деформации
Точка
На прямой В работе [118] рассмотрена задача о распространении плоских ударных волн нагружения в случае криволинейной диаграммы деформирования материала. Принято следующее соотношение для процесса нагружения:
где Для процесса разгрузки, как и прежде, принято При названных предположениях рассмотрена задача о внезапно приложенном к концу полубесконечного стержня давлении, которое затем монотонно убывает во времени. Решение получено в замкнутой форме.
|
1 |
Оглавление
|